(1) 円 $x^2 + y^2 = 2$ と直線 $y = 2x + 1$ の共有点の座標を求める。 (2) 円 $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$ と直線 $y = x + k$ が共有点を持つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 円 $x^2 + y^2 = 2$ と直線 $y = 2x + 1$ の共有点の座標を求める。

(2) 円 $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$ と直線 $y = x + k$ が共有点を持つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円と直線の連立方程式を解く。

$y = 2x + 1$ を $x^2 + y^2 = 2$ に代入する。

$x^2 + (2x + 1)^2 = 2$

$x^2 + 4x^2 + 4x + 1 = 2$

$5x^2 + 4x - 1 = 0$

$(5x - 1)(x + 1) = 0$

$x = \frac{1}{5}, -1$

$x = \frac{1}{5}$ のとき、$y = 2(\frac{1}{5}) + 1 = \frac{2}{5} + 1 = \frac{7}{5}$

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1$

したがって、共有点の座標は $(\frac{1}{5}, \frac{7}{5})$ と $(-1, -1)$。

(2)

円の方程式を標準形に変形する。

$x^2 + 4x + y^2 - 2y - 4 = 0$

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) - 4 - 1 - 4 = 0$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9 = 3^2$

円の中心は $(-2, 1)$, 半径は $3$。

直線 $y = x + k$ を $x - y + k = 0$ と変形する。

円の中心と直線の距離 $d$ が半径以下であれば、円と直線は共有点を持つ。

$d = \frac{|(-2) - (1) + k|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|k - 3|}{\sqrt{2}}$

$d \le 3$ より、

$\frac{|k - 3|}{\sqrt{2}} \le 3$

$|k - 3| \le 3\sqrt{2}$

$-3\sqrt{2} \le k - 3 \le 3\sqrt{2}$

$3 - 3\sqrt{2} \le k \le 3 + 3\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $(\frac{1}{5}, \frac{7}{5}), (-1, -1)$

(2) $3 - 3\sqrt{2} \le k \le 3 + 3\sqrt{2}$