(1) 円 $x^2 + y^2 = 4$ 上の点 $P(-1, \sqrt{3})$ における接線の方程式を求めよ。 (2) 点 $A(3, 1)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 5$ に接する直線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 円 $x^2 + y^2 = 4$ 上の点 $P(-1, \sqrt{3})$ における接線の方程式を求めよ。

(2) 点 $A(3, 1)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 5$ に接する直線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $x_1x + y_1y = r^2$ で与えられます。

この公式に $x_1 = -1$, $y_1 = \sqrt{3}$, $r^2 = 4$ を代入すると、接線の方程式は

$-x + \sqrt{3}y = 4$ となります。整理すると $x - \sqrt{3}y + 4 = 0$ となります。

(2) 点 $A(3, 1)$ を通る直線のうち、傾きがない直線は $x = 3$ です。この直線と円 $x^2 + y^2 = 5$ の中心 $(0, 0)$ との距離は $|3| = 3$ であり、円の半径 $\sqrt{5}$ よりも大きいので、この直線は円と接しません。

よって、求める直線は $y = m(x - 3) + 1$ と表すことができます。これを変形すると $mx - y - 3m + 1 = 0$ となります。

この直線が円 $x^2 + y^2 = 5$ に接するためには、原点 $(0, 0)$ から直線までの距離が円の半径 $\sqrt{5}$ に等しくなければなりません。

点と直線の距離の公式を用いると、

$\frac{|m(0) - (0) - 3m + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{5}$

$\frac{|-3m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$

両辺を2乗すると

$\frac{(-3m + 1)^2}{m^2 + 1} = 5$

$(3m - 1)^2 = 5(m^2 + 1)$

$9m^2 - 6m + 1 = 5m^2 + 5$

$4m^2 - 6m - 4 = 0$

$2m^2 - 3m - 2 = 0$

$(2m + 1)(m - 2) = 0$

よって、$m = -\frac{1}{2}, 2$ となります。

$m = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = -\frac{1}{2}(x - 3) + 1$ より $y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ となり、整理すると $x + 2y - 5 = 0$ となります。

$m = 2$ のとき、$y = 2(x - 3) + 1$ より $y = 2x - 5$ となり、整理すると $2x - y - 5 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x - \sqrt{3}y + 4 = 0$

(2) $x + 2y - 5 = 0$, $2x - y - 5 = 0$