$PA = \sqrt{(x-(-2))^2 + (y-2)^2} = \sqrt{(x+2)^2 + (y-2)^2}$ $PO = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

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1. 問題の内容

(1) 点 A(-2, 2) と原点 O(0, 0) から等距離にある点 P(x, y) の軌跡を求めよ。

(2) 2点 A(0, 1), B(0, -2) からの距離の比が 1:2 である点 P(x, y) の軌跡を求めよ。

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2. 解き方の手順

**(1)**

1. 点 P(x, y) と点 A(-2, 2) の距離 PA および点 P(x, y) と原点 O(0, 0) の距離 PO をそれぞれ求める。

$PA = \sqrt{(x-(-2))^2 + (y-2)^2} = \sqrt{(x+2)^2 + (y-2)^2}$

$PO = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

2. PA = PO であるから、$\sqrt{(x+2)^2 + (y-2)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

3. 両辺を2乗して、$(x+2)^2 + (y-2)^2 = x^2 + y^2$

4. 展開して整理する。

$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = x^2 + y^2$

$4x - 4y + 8 = 0$

$x - y + 2 = 0$

$y = x + 2$

**(2)**

1. 点 P(x, y) と点 A(0, 1) の距離 PA および点 P(x, y) と点 B(0, -2) の距離 PB をそれぞれ求める。

$PA = \sqrt{(x-0)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$

$PB = \sqrt{(x-0)^2 + (y-(-2))^2} = \sqrt{x^2 + (y+2)^2}$

2. PA : PB = 1 : 2 であるから、2PA = PB

$2\sqrt{x^2 + (y-1)^2} = \sqrt{x^2 + (y+2)^2}$

3. 両辺を2乗して、 $4(x^2 + (y-1)^2) = x^2 + (y+2)^2$

4. 展開して整理する。

$4(x^2 + y^2 - 2y + 1) = x^2 + y^2 + 4y + 4$

$4x^2 + 4y^2 - 8y + 4 = x^2 + y^2 + 4y + 4$

$3x^2 + 3y^2 - 12y = 0$

5. 3で割って $x^2 + y^2 - 4y = 0$

6. 平方完成して $x^2 + (y-2)^2 = 4$

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3. 最終的な答え

**(1)**

点 P の軌跡は、直線 $y = x + 2$

**(2)**

点 P の軌跡は、円 $x^2 + (y-2)^2 = 4$ (中心 (0, 2), 半径 2 の円)