中心が点$(1, 2)$である円$C$と、円$x^2 + y^2 = 20$が内接するとき、円$C$の方程式を求める。

1. 問題の内容

中心が点$(1, 2)$である円$C$と、円$x^2 + y^2 = 20$が内接するとき、円$C$の方程式を求める。

2. 解き方の手順

円$x^2 + y^2 = 20$の中心は原点$(0, 0)$であり、半径は$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$である。

円$C$の中心は$(1, 2)$である。

2つの円が内接するとき、2つの円の中心間の距離は、2つの円の半径の差の絶対値に等しい。

円$C$の半径を$r$とおくと、2円の中心間の距離は$\sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$となる。

したがって、$|2\sqrt{5} - r| = \sqrt{5}$が成り立つ。

この式を解くと、

$2\sqrt{5} - r = \sqrt{5}$または$2\sqrt{5} - r = -\sqrt{5}$となる。

$2\sqrt{5} - r = \sqrt{5}$のとき、$r = 2\sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5}$。

$2\sqrt{5} - r = -\sqrt{5}$のとき、$r = 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$。

したがって、円$C$の方程式は、中心が$(1, 2)$で半径が$\sqrt{5}$の場合と、中心が$(1, 2)$で半径が$3\sqrt{5}$の場合の2つがある。

半径が$\sqrt{5}$の場合、$(x-1)^2 + (y-2)^2 = (\sqrt{5})^2$より、

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$。

半径が$3\sqrt{5}$の場合、$(x-1)^2 + (y-2)^2 = (3\sqrt{5})^2$より、

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 45$。

3. 最終的な答え

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$ または $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 45$