円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=6, CD=5, DA=2であるとき、$\cos A$の値を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=6, CD=5, DA=2であるとき、$\cos A$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

円に内接する四角形の性質から、向かい合う角の和は180°である。よって、$C = 180^\circ - A$であり、$\cos C = \cos(180^\circ - A) = -\cos A$が成り立つ。

対角線BDの長さを$x$とする。三角形ABDにおいて余弦定理より、

$x^2 = AB^2 + AD^2 - 2(AB)(AD) \cos A$

$x^2 = 3^2 + 2^2 - 2(3)(2) \cos A$

$x^2 = 9 + 4 - 12 \cos A$

$x^2 = 13 - 12 \cos A$ ...(1)

三角形BCDにおいて余弦定理より、

$x^2 = BC^2 + CD^2 - 2(BC)(CD) \cos C$

$x^2 = 6^2 + 5^2 - 2(6)(5) \cos C$

$x^2 = 36 + 25 - 60 \cos C$

$x^2 = 61 - 60 (-\cos A)$

$x^2 = 61 + 60 \cos A$ ...(2)

(1)と(2)はともに$x^2$を表しているので、

$13 - 12 \cos A = 61 + 60 \cos A$

$-48 = 72 \cos A$

$\cos A = -\frac{48}{72} = -\frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos A = -\frac{2}{3}$