原点O(0, 0)、点A($x_1$, $y_1$)、点B($x_2$, $y_2$)を頂点とする三角形OABがある。 (1) 点Bと直線OAの距離を$x_1$, $y_1$, $x_2$, $y_2$を用いて表せ。 (2) 三角形OABの面積が$\frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1|$ で表されることを示せ。

1. 問題の内容

原点O(0, 0)、点A($x_1$, $y_1$)、点B($x_2$, $y_2$)を頂点とする三角形OABがある。

(1) 点Bと直線OAの距離を$x_1$, $y_1$, $x_2$, $y_2$を用いて表せ。

(2) 三角形OABの面積が$\frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1|$ で表されることを示せ。

2. 解き方の手順

(1)

直線OAの方程式は、$y = \frac{y_1}{x_1}x$ (ただし、$x_1 \neq 0$) と表せる。書き換えると、$y_1x - x_1y = 0$。

点B($x_2$, $y_2$)と直線$y_1x - x_1y = 0$の距離を$d$とすると、点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|y_1x_2 - x_1y_2|}{\sqrt{y_1^2 + x_1^2}} = \frac{|x_1y_2 - x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}}$。

もし、$x_1 = 0$ならば、直線OAは$x = 0$となる。この時、点B($x_2$, $y_2$)と直線OAの距離は、$|x_2|$となる。

$x_1 = 0$のとき、$x_1y_2 - x_2y_1 = -x_2y_1$。また、$\sqrt{x_1^2 + y_1^2} = \sqrt{y_1^2} = |y_1|$。

よって、$d = \frac{|x_2y_1|}{|y_1|} = |x_2|$ となり、上記公式で$x_1 = 0$の場合も表現できる。

(2)

三角形OABの面積Sは、底辺をOAとすると、高さは点Bと直線OAの距離となる。

OAの長さは$\sqrt{x_1^2 + y_1^2}$。高さは(1)で求めた$d = \frac{|x_1y_2 - x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}}$。

したがって、

$S = \frac{1}{2} \times \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \times \frac{|x_1y_2 - x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}} = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$

3. 最終的な答え

(1) 点Bと直線OAの距離: $\frac{|x_1y_2 - x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}}$

(2) $\triangle OAB$の面積は$\frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$ で表される。