2つの不等式 $x^2 + y^2 < 9$ と $x - 3y + 3 < 0$ を同時に満たす整数 $(x, y)$ の組の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの不等式 $x^2 + y^2 < 9$ と $x - 3y + 3 < 0$ を同時に満たす整数 $(x, y)$ の組の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + y^2 < 9$ を満たす整数 $(x, y)$ を考えます。これは原点を中心とする半径3の円の内部にある格子点です。

$x, y$ が整数であることから、 $x$ と $y$ は $-2, -1, 0, 1, 2$ のいずれかの値を取ります。

次に、$x - 3y + 3 < 0$ を満たすように $(x, y)$ を絞り込みます。

この不等式は、$x < 3y - 3$ と書き換えられます。

$y$ の値ごとに $x$ の条件を考え、それぞれの $y$ に対して条件を満たす $x$ の個数を数え上げます。

* $y = -2$ のとき、$x < 3(-2) - 3 = -9$。$x^2 + y^2 < 9$ なので、$x$ は整数で $-2 \leq x \leq 2$ を満たさなければならない。しかし、この条件を満たす $x$ は存在しません。

* $y = -1$ のとき、$x < 3(-1) - 3 = -6$。同様に、$x$ は $-2 \leq x \leq 2$ を満たさなければならないため、$x$ は存在しません。

* $y = 0$ のとき、$x < 3(0) - 3 = -3$。$x$ は $-2 \leq x \leq 2$ なので、$x = -2$ が条件を満たします。

* $y = 1$ のとき、$x < 3(1) - 3 = 0$。$x$ は $-2 \leq x \leq 2$ なので、$x = -2, -1$ が条件を満たします。

* $y = 2$ のとき、$x < 3(2) - 3 = 3$。$x$ は $-2 \leq x \leq 2$ なので、$x = -2, -1, 0, 1, 2$ が条件を満たします。

さらに、$x^2 + y^2 < 9$ の条件も考慮する必要があります。

* $y = 0$ のとき、$x = -2$ は $(-2)^2 + 0^2 = 4 < 9$ を満たします。

* $y = 1$ のとき、$x = -2$ は $(-2)^2 + 1^2 = 5 < 9$ を満たし、$x = -1$ は $(-1)^2 + 1^2 = 2 < 9$ を満たします。

* $y = 2$ のとき、$x = -2$ は $(-2)^2 + 2^2 = 8 < 9$ を満たし、$x = -1$ は $(-1)^2 + 2^2 = 5 < 9$ を満たし、$x = 0$ は $0^2 + 2^2 = 4 < 9$ を満たし、$x = 1$ は $1^2 + 2^2 = 5 < 9$ を満たし、$x = 2$ は $2^2 + 2^2 = 8 < 9$ を満たします。

したがって、条件を満たす整数 $(x, y)$ の組は、 $(-2, 0)$, $(-2, 1)$, $(-1, 1)$, $(-2, 2)$, $(-1, 2)$, $(0, 2)$, $(1, 2)$, $(2, 2)$ の8個です。

3. 最終的な答え

8個