四面体ABCDにおいて、点Aから平面BCDに下ろした垂線をAOとする。また、点Oから直線BCに下ろした垂線をOEとする。このとき、以下のことを証明する。 (1) BCは平面AEOに垂直である。 (2) AE⊥BC

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、点Aから平面BCDに下ろした垂線をAOとする。また、点Oから直線BCに下ろした垂線をOEとする。このとき、以下のことを証明する。

(1) BCは平面AEOに垂直である。

(2) AE⊥BC

2. 解き方の手順

(1) BCは平面AEOに垂直であることの証明

* AOは平面BCDに垂直であるから、AOはBCに垂直である。つまり、$AO \perp BC$。

* OEはBCに垂直である。つまり、$OE \perp BC$。

* AOとOEは平面AEOに含まれる。

* AOとOEは交わる。

したがって、BCは平面AEOに垂直である。

(2) AE⊥BCの証明

(1)より、BCは平面AEOに垂直であるから、BCは平面AEOに含まれる全ての直線に垂直である。

したがって、AE⊥BC。

3. 最終的な答え

(1) BCは平面AEOに垂直である。（証明終わり）

(2) AE⊥BC。（証明終わり）