三角形ABCがあり、点DとEはそれぞれ辺ABとAC上の点である。DEとBCは平行であり、AD:DB = 5:2である。三角形ADEの面積が25 cm²のとき、三角形BDFの面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、点DとEはそれぞれ辺ABとAC上の点である。DEとBCは平行であり、AD:DB = 5:2である。三角形ADEの面積が25 cm²のとき、三角形BDFの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ADE$と$\triangle ABC$が相似であることを示す。

DE // BCであるため、$\angle ADE = \angle ABC$かつ$\angle AED = \angle ACB$である。したがって、$\triangle ADE \sim \triangle ABC$である。

次に、相似比を求める。

AD:DB = 5:2であるため、AD:AB = 5:(5+2) = 5:7である。したがって、$\triangle ADE$と$\triangle ABC$の相似比は5:7である。

面積比は相似比の二乗であるから、$\triangle ADE:\triangle ABC = 5^2:7^2 = 25:49$。

$\triangle ADE$の面積が25 cm²であることから、$\triangle ABC$の面積を求める。

$\triangle ADE:\triangle ABC = 25:\triangle ABC = 25:49$なので、$\triangle ABC = 49$ cm²。

$\triangle ADE$と$\triangle ABC$の面積の差を計算すると、台形DBCEの面積が求められる。

台形DBCEの面積は、$\triangle ABC - \triangle ADE = 49 - 25 = 24$ cm²。

次に、$\triangle DBF$と$\triangle CBF$について考える。

DE // BCより、$\triangle DBE$と$\triangle EBC$は面積が等しい。

$\triangle DBE = \triangle DBF + \triangle EBF$、$\triangle EBC = \triangle CBF + \triangle EBF$であるから、$\triangle DBF = \triangle EBC - \triangle EBF$、$\triangle CBF = \triangle DBE - \triangle EBF$。したがって、$\triangle DBF = \triangle CBF$である。

DB:BC = DB:AB * AB:BC = 2/7 * 7/5 = 2/5

DB:AD = 2:5であるから、DB:AB = 2:7である。

よって、$\triangle BCD = \frac{DB}{AB} \times \triangle ABC = \frac{2}{7} \times 49 = 14$ cm²。

また、$\triangle BCD$ = $\triangle DBF + \triangle CBF$。

$\triangle DBF$ = $\triangle CBF$より、$\triangle DBF = \frac{1}{2} \times \triangle BCD = \frac{1}{2} \times 14 = 5$ cm²。

3. 最終的な答え

三角形BDFの面積は5 cm²である。