一辺の長さが $k$ の正方形OABCがある。平面上に $\angle AOP = \frac{\pi}{3}$, $\angle COP = \frac{5\pi}{6}$, $OP = 1$ となる点Pをとる。線分APの中点をMとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OP} = \vec{p}$ とおくとき、以下の問いに答えよ。 (1) 線分OMの長さを $k$ を用いて表せ。 (2) $\vec{OC}$ を $k$ と $\vec{a}$, $\vec{p}$ を用いて表せ。 (3) $\vec{AC}$ と $\vec{OM}$ が平行になるときの $k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが $k$ の正方形OABCがある。平面上に $\angle AOP = \frac{\pi}{3}$, $\angle COP = \frac{5\pi}{6}$, $OP = 1$ となる点Pをとる。線分APの中点をMとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OP} = \vec{p}$ とおくとき、以下の問いに答えよ。

(1) 線分OMの長さを $k$ を用いて表せ。

(2) $\vec{OC}$ を $k$ と $\vec{a}$, $\vec{p}$ を用いて表せ。

(3) $\vec{AC}$ と $\vec{OM}$ が平行になるときの $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OM}$ を $\vec{a}$ と $\vec{p}$ を用いて表す。MはAPの中点なので、

$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OP}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{p}}{2}$

$|\vec{OM}|^2 = \frac{1}{4} (\vec{a} + \vec{p}) \cdot (\vec{a} + \vec{p}) = \frac{1}{4} (|\vec{a}|^2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{p} + |\vec{p}|^2)$

ここで $|\vec{a}| = k$, $|\vec{p}| = 1$, $\angle AOP = \frac{\pi}{3}$ なので $\vec{a} \cdot \vec{p} = |\vec{a}||\vec{p}| \cos{\frac{\pi}{3}} = k \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{k}{2}$

$|\vec{OM}|^2 = \frac{1}{4} (k^2 + 2 \cdot \frac{k}{2} + 1) = \frac{1}{4} (k^2 + k + 1)$

よって $OM = |\vec{OM}| = \frac{\sqrt{k^2+k+1}}{2}$

(2) $\angle AOC = \frac{\pi}{2}$ であり、$\angle COP = \frac{5\pi}{6}$, $\angle AOP = \frac{\pi}{3}$ なので、$\angle COA = \angle COP - \angle AOP = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$\vec{OC}$ は $\vec{OA}$ を原点中心に反時計回りに $\frac{\pi}{2}$ 回転させたベクトルなので、$\vec{OC}$ は $\vec{a}$ と直交する。

$\vec{OC} = s \vec{a} + t \vec{p}$ とおく。$\vec{OA}$ と $\vec{OC}$ は直交するので、$\vec{OA} \cdot \vec{OC} = 0$

$\vec{a} \cdot (s \vec{a} + t \vec{p}) = s |\vec{a}|^2 + t (\vec{a} \cdot \vec{p}) = s k^2 + t \frac{k}{2} = 0$

$s k^2 + \frac{tk}{2} = 0$ より $2sk + t = 0$ よって $t = -2sk$

$\vec{OC} = s \vec{a} - 2sk \vec{p}$

$|\vec{OC}| = k$ なので、

$|\vec{OC}|^2 = (s \vec{a} - 2sk \vec{p}) \cdot (s \vec{a} - 2sk \vec{p}) = s^2 |\vec{a}|^2 - 4s^2 k (\vec{a} \cdot \vec{p}) + 4s^2 k^2 |\vec{p}|^2$

$k^2 = s^2 k^2 - 4 s^2 k (\frac{k}{2}) + 4s^2 k^2$

$k^2 = s^2 k^2 - 2s^2 k^2 + 4s^2 k^2 = 3s^2 k^2$

$1 = 3 s^2$ より $s = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

図から $\vec{OC}$ は $\vec{a}$ の左側にあるので、$s > 0$ となり $s = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$t = -2sk = -\frac{2k}{\sqrt{3}}$

よって $\vec{OC} = \frac{1}{\sqrt{3}} \vec{a} - \frac{2k}{\sqrt{3}} \vec{p}$

(3) $\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (\frac{1}{\sqrt{3}} \vec{a} - \frac{2k}{\sqrt{3}} \vec{p}) - \vec{a} = (\frac{1}{\sqrt{3}} - 1) \vec{a} - \frac{2k}{\sqrt{3}} \vec{p}$

$\vec{OM} = \frac{\vec{a} + \vec{p}}{2}$

$\vec{AC}$ と $\vec{OM}$ が平行なので、$\vec{AC} = l \vec{OM}$ となる実数 $l$ が存在する。

$(\frac{1}{\sqrt{3}} - 1) \vec{a} - \frac{2k}{\sqrt{3}} \vec{p} = l \frac{\vec{a} + \vec{p}}{2} = \frac{l}{2} \vec{a} + \frac{l}{2} \vec{p}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} - 1 = \frac{l}{2}$ かつ $-\frac{2k}{\sqrt{3}} = \frac{l}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} - 1 = -\frac{2k}{\sqrt{3}}$

$1 - \sqrt{3} = -2k$

$k = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $OM = \frac{\sqrt{k^2+k+1}}{2}$

(2) $\vec{OC} = \frac{1}{\sqrt{3}} \vec{a} - \frac{2k}{\sqrt{3}} \vec{p}$

(3) $k = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$