直線 $l: y = 2x + 1$ 上の点 $A(3, 7)$ で、直線 $l$ に接する半径5の円が2つ存在する。これらの円の中心を、x座標の大きい方から順にB, Cとするとき、B, Cの座標を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = 2x + 1$ 上の点 $A(3, 7)$ で、直線 $l$ に接する半径5の円が2つ存在する。これらの円の中心を、x座標の大きい方から順にB, Cとするとき、B, Cの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点Aにおける直線 $l$ の法線ベクトルを求める。直線 $l: y = 2x + 1$ は $2x - y + 1 = 0$ と表せる。

この直線の法線ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ に平行なベクトルで表される。単位法線ベクトルは、$\pm \frac{1}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$となる。

円の中心を $(x, y)$ とすると、これは点Aから法線方向に距離5だけ離れているので、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} \pm 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} \pm \sqrt{5} \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}$

もしくは

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} \pm 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} \pm \sqrt{5} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

と表せる。

したがって、円の中心の座標は $(3 + \sqrt{5}, 7 + 2\sqrt{5})$ または $(3 - \sqrt{5}, 7 - 2\sqrt{5})$ である。

x座標の大きい方から順にB, Cとするので、Bの座標は $(3 + \sqrt{5}, 7 + 2\sqrt{5})$ であり、Cの座標は $(3 - \sqrt{5}, 7 - 2\sqrt{5})$ である。

3. 最終的な答え

Bの座標: $(3 + \sqrt{5}, 7 + 2\sqrt{5})$

Cの座標: $(3 - \sqrt{5}, 7 - 2\sqrt{5})$