放物線 $C: y = x^2 - 2x + 3$ 上の点 $P$ と原点 $O$, 点 $A(2, 0)$ を頂点とする $\triangle OAP$ の重心を $G$ とする。線分 $GP$ の中点を $M$ とするとき、点 $P$ が放物線 $C$ 上を動くときの点 $M$ の軌跡の方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - 2x + 3$ 上の点 $P$ と原点 $O$, 点 $A(2, 0)$ を頂点とする $\triangle OAP$ の重心を $G$ とする。線分 $GP$ の中点を $M$ とするとき、点 $P$ が放物線 $C$ 上を動くときの点 $M$ の軌跡の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ の座標を $(s, t)$ とおく。点 $P$ は放物線 $C$ 上にあるので、$t = s^2 - 2s + 3$ が成り立つ。

次に、$\triangle OAP$ の重心 $G$ の座標を $(x_G, y_G)$ とすると、重心の座標は各頂点の座標の平均であるから、

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x_G = \frac{0 + 2 + s}{3} = \frac{s+2}{3}, \quad y_G = \frac{0 + 0 + t}{3} = \frac{t}{3}

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となる。

さらに、線分 $GP$ の中点 $M$ の座標を $(x, y)$ とすると、中点の座標は両端点の座標の平均であるから、

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x = \frac{x_G + s}{2} = \frac{\frac{s+2}{3} + s}{2} = \frac{4s+2}{6} = \frac{2s+1}{3}, \quad y = \frac{y_G + t}{2} = \frac{\frac{t}{3} + t}{2} = \frac{4t}{6} = \frac{2t}{3}

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となる。

$x = \frac{2s+1}{3}$ より、$3x = 2s+1$ であり、$s = \frac{3x-1}{2}$ となる。

$y = \frac{2t}{3}$ より、$3y = 2t$ であり、$t = \frac{3y}{2}$ となる。

これらを $t = s^2 - 2s + 3$ に代入すると、

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\frac{3y}{2} = \left(\frac{3x-1}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{3x-1}{2}\right) + 3

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\frac{3y}{2} = \frac{9x^2 - 6x + 1}{4} - (3x - 1) + 3

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両辺に4を掛けて、

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6y = 9x^2 - 6x + 1 - 12x + 4 + 12

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6y = 9x^2 - 18x + 17

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y = \frac{3}{2}x^2 - 3x + \frac{17}{6}

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これが点 $M$ の軌跡の方程式である。

3. 最終的な答え

$y = \frac{3}{2}x^2 - 3x + \frac{17}{6}$