座標平面上に円 $K: x^2 + y^2 - 8x = 0$ があり、円 K の中心を C とする。また、点 A $(-1, 0)$ を通り、傾きが $a$ ($a$ は正の定数) の直線を $l$ とする。 (1) 点 C の座標を求めよ。また、円 K の半径を求めよ。 (2) 直線 $l$ の方程式を $a$, $x$, $y$ を用いて表せ。また、直線 $l$ と円 K が接するとき、$a$ の値を求めよ。 (3) $a$ は (2) で求めた値とする。また、点 C を通り、直線 $l$ に垂直な直線と $y$ 軸の交点を B とする。点 B の座標を求めよ。さらに、円 K 上を点 P が動くとき、$\triangle ABP$ の面積の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に円 $K: x^2 + y^2 - 8x = 0$ があり、円 K の中心を C とする。また、点 A $(-1, 0)$ を通り、傾きが $a$ ($a$ は正の定数) の直線を $l$ とする。

(1) 点 C の座標を求めよ。また、円 K の半径を求めよ。

(2) 直線 $l$ の方程式を $a$, $x$, $y$ を用いて表せ。また、直線 $l$ と円 K が接するとき、$a$ の値を求めよ。

(3) $a$ は (2) で求めた値とする。また、点 C を通り、直線 $l$ に垂直な直線と $y$ 軸の交点を B とする。点 B の座標を求めよ。さらに、円 K 上を点 P が動くとき、$\triangle ABP$ の面積の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円 $K$ の方程式 $x^2 + y^2 - 8x = 0$ を変形する。

$x^2 - 8x + y^2 = 0$

$(x - 4)^2 - 16 + y^2 = 0$

$(x - 4)^2 + y^2 = 16$

よって、円 K の中心 C の座標は $(4, 0)$ であり、半径は $4$ である。

(2) 点 A $(-1, 0)$ を通り、傾きが $a$ の直線 $l$ の方程式は、

$y - 0 = a(x - (-1))$

$y = a(x + 1)$

$y = ax + a$

$ax - y + a = 0$

直線 $l$ と円 K が接するとき、円の中心 C$(4, 0)$ と直線 $l$ の距離が半径 $4$ に等しい。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|a(4) - 0 + a|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = 4$

$\frac{|5a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 4$

両辺を2乗して

$\frac{25a^2}{a^2 + 1} = 16$

$25a^2 = 16(a^2 + 1)$

$25a^2 = 16a^2 + 16$

$9a^2 = 16$

$a^2 = \frac{16}{9}$

$a > 0$ より

$a = \frac{4}{3}$

(3) $a = \frac{4}{3}$ のとき、直線 $l$ の方程式は $\frac{4}{3}x - y + \frac{4}{3} = 0$, すなわち $4x - 3y + 4 = 0$ である。

直線 $l$ に垂直で点 C$(4, 0)$ を通る直線の方程式は、

$3(x - 4) + 4(y - 0) = 0$

$3x - 12 + 4y = 0$

$3x + 4y - 12 = 0$

この直線と $y$ 軸の交点 B の座標は、$x = 0$ を代入して、

$4y - 12 = 0$

$4y = 12$

$y = 3$

よって、点 B の座標は $(0, 3)$ である。

点 P は円 K 上の点なので、点 P の座標を $(x, y)$ とすると、$(x-4)^2 + y^2 = 16$ が成り立つ。$\triangle ABP$ の面積を最大にする点 P は、直線 AB と平行で、円 K と接する点である。直線 AB の方程式を求める。

A $(-1, 0)$, B $(0, 3)$ を通る直線の方程式は、

$\frac{y - 0}{x - (-1)} = \frac{3 - 0}{0 - (-1)}$

$\frac{y}{x + 1} = 3$

$y = 3x + 3$

$3x - y + 3 = 0$

$\triangle ABP$ の面積が最大となるのは、点 P と直線 AB の距離が最大となるときである。

点 C$(4, 0)$ から直線 AB $3x - y + 3 = 0$ までの距離は、

$\frac{|3(4) - 0 + 3|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{15}{\sqrt{10}} = \frac{15\sqrt{10}}{10} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$

円の半径は 4 であるから、点 P と直線 AB との距離の最大値は、$\frac{3\sqrt{10}}{2} + 4$

A $(-1, 0)$, B $(0, 3)$ 間の距離は $\sqrt{(0 - (-1))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

よって、$\triangle ABP$ の面積の最大値は、$\frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times (\frac{3\sqrt{10}}{2} + 4) = \frac{1}{2} (15 + 4\sqrt{10}) = \frac{15 + 4\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) C$(4, 0)$, 半径 4

(2) $ax - y + a = 0$, $a = \frac{4}{3}$

(3) B$(0, 3)$, $\frac{15 + 4\sqrt{10}}{2}$