$xy$ 平面上に点 $A(4, 0)$, $B(0, 3)$ があり、点 $C$ は円 $S: x^2 + y^2 = 1$ 上を動きます。 (1) 点 $C$ が円 $S$ 上を動くとき、三角形 $ABC$ の重心 $P$ の軌跡を求めます。 (2) 点 $C$ が円 $S$ 上を動くとき、三角形 $ABC$ の面積 $T$ の最大値と最小値を求めます。 (3) 三角形 $ABC$ が直角三角形になる円 $S$ 上の点 $C$ は2点あり、それらを $D$, $E$ とするとき、直線 $DE$ の方程式を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$xy$ 平面上に点 $A(4, 0)$, $B(0, 3)$ があり、点 $C$ は円 $S: x^2 + y^2 = 1$ 上を動きます。

(1) 点 $C$ が円 $S$ 上を動くとき、三角形 $ABC$ の重心 $P$ の軌跡を求めます。

(2) 点 $C$ が円 $S$ 上を動くとき、三角形 $ABC$ の面積 $T$ の最大値と最小値を求めます。

(3) 三角形 $ABC$ が直角三角形になる円 $S$ 上の点 $C$ は2点あり、それらを $D$, $E$ とするとき、直線 $DE$ の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 重心 $P$ の軌跡

点 $C$ の座標を $(x, y)$ とすると、$x^2 + y^2 = 1$ が成り立ちます。

重心 $P$ の座標を $(X, Y)$ とすると、

$X = \frac{4 + 0 + x}{3} = \frac{4 + x}{3}$

$Y = \frac{0 + 3 + y}{3} = \frac{3 + y}{3}$

したがって、$x = 3X - 4$, $y = 3Y - 3$ となります。

これを $x^2 + y^2 = 1$ に代入すると、

$(3X - 4)^2 + (3Y - 3)^2 = 1$

$9X^2 - 24X + 16 + 9Y^2 - 18Y + 9 = 1$

$9X^2 - 24X + 9Y^2 - 18Y + 24 = 0$

$X^2 - \frac{8}{3}X + Y^2 - 2Y + \frac{8}{3} = 0$

$(X - \frac{4}{3})^2 + (Y - 1)^2 = (\frac{4}{3})^2 + 1^2 - \frac{8}{3} = \frac{16}{9} + 1 - \frac{24}{9} = \frac{16 + 9 - 24}{9} = \frac{1}{9}$

したがって、重心 $P$ の軌跡は、中心 $(\frac{4}{3}, 1)$, 半径 $\frac{1}{3}$ の円です。

(2) 面積 $T$ の最大値と最小値

三角形 $ABC$ の面積 $T$ は、

$T = \frac{1}{2} | (4(3-y) + 0(y-0) + x(0-3)) | = \frac{1}{2} | 12 - 4y - 3x | = \frac{1}{2} | 3x + 4y - 12 |$

ここで、$3x + 4y = k$ とおくと、$y = -\frac{3}{4}x + \frac{k}{4}$ となります。

この直線が円 $x^2 + y^2 = 1$ と接するとき、$3x + 4y = k$ が最大または最小になります。

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $3x + 4y - k = 0$ の距離が半径 $1$ に等しいので、

$\frac{|-k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 1$

$\frac{|k|}{5} = 1$

$|k| = 5$

$k = \pm 5$

$3x + 4y$ の最大値は $5$、最小値は $-5$ です。

$T = \frac{1}{2} |3x + 4y - 12|$ より、

$T$ の最大値は $\frac{1}{2} |5 - 12| = \frac{7}{2}$

$T$ の最小値は $\frac{1}{2} |-5 - 12| = \frac{17}{2}$

(3) 直線 $DE$ の方程式

三角形 $ABC$ が直角三角形になるのは、$C$ が $∠ACB = 90^{\circ}$ または $∠CAB = 90^{\circ}$ または $∠CBA = 90^{\circ}$ のときです。

$∠ACB = 90^{\circ}$ のとき、$AC \perp BC$ なので、

$\vec{AC} = (x-4, y)$, $\vec{BC} = (x, y-3)$

$(x-4)x + y(y-3) = 0$

$x^2 - 4x + y^2 - 3y = 0$

$x^2 + y^2 = 4x + 3y$

円 $S$ 上の点なので、$1 = 4x + 3y$

$4x + 3y = 1$

これが直線 $DE$ の方程式です。

3. 最終的な答え

(1) 重心 $P$ の軌跡: $(x - \frac{4}{3})^2 + (y - 1)^2 = \frac{1}{9}$

(2) 面積 $T$ の最大値: $\frac{17}{2}$, 最小値: $\frac{7}{2}$

(3) 直線 $DE$ の方程式: $4x + 3y = 1$