平行四辺形ABCDにおいて、AB=8, AD=5, ∠A=60°のとき、対角線AC, BDの長さを求める。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、AB=8, AD=5, ∠A=60°のとき、対角線AC, BDの長さを求める。

2. 解き方の手順

対角線の長さを求めるために余弦定理を用いる。

平行四辺形の性質より、AB=CD=8, AD=BC=5。

まず対角線ACの長さを求める。

三角形ADCにおいて、∠A=60°, AD=5, AB=CD=8より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \times AD \times CD \times \cos{A}$

$AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \times \cos{60^\circ}$

$\cos{60^\circ} = \frac{1}{2}$ なので、

$AC^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac{1}{2}$

$AC^2 = 89 - 40$

$AC^2 = 49$

$AC = \sqrt{49} = 7$

次に、対角線BDの長さを求める。

平行四辺形の性質より、∠C = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°。

三角形BCDにおいて、∠C=120°, BC=5, CD=8より、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \times BC \times CD \times \cos{C}$

$BD^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \times \cos{120^\circ}$

$\cos{120^\circ} = -\frac{1}{2}$ なので、

$BD^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times (-\frac{1}{2})$

$BD^2 = 89 + 40$

$BD^2 = 129$

$BD = \sqrt{129}$

3. 最終的な答え

AC = 7

BD = $\sqrt{129}$