正八角形がある。その3個の頂点を結んで作られる三角形のうち、次の三角形は全部で何個あるか。 (1) 正八角形と2辺を共有する。 (2) 正八角形と辺を共有しない。

1. 問題の内容

正八角形がある。その3個の頂点を結んで作られる三角形のうち、次の三角形は全部で何個あるか。

(1) 正八角形と2辺を共有する。

(2) 正八角形と辺を共有しない。

2. 解き方の手順

(1) 正八角形と2辺を共有する三角形の数を求める。

正八角形の2つの隣り合う頂点を選び、それらに隣接する辺が三角形の2辺となる。そのような選び方は、正八角形の辺の数と同じだけあるので、8個である。

(2) 正八角形と辺を共有しない三角形の数を求める。

まず、正八角形の3つの頂点を選んで作られる三角形の総数を求める。これは、8個の頂点から3個の頂点を選ぶ組み合わせの数なので、$_8C_3$で計算できる。

$_8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

次に、少なくとも1つの辺を正八角形と共有する三角形の数を求める。

正八角形と2辺を共有する三角形は(1)より8個。

正八角形と1辺を共有する三角形の数を求める。

正八角形の1つの辺を選ぶ方法は8通りある。その辺の両端の頂点を除いた頂点を選ぶ方法は8 - 4 = 4通り。

したがって、正八角形と1辺を共有する三角形の数は、$8 \times 4 = 32$個。ただし、正八角形と2辺を共有する三角形が2回数えられているので、8個を引く必要がある。よって、$32-8=24$個。

正八角形と少なくとも1つの辺を共有する三角形の数は、$8+24 = 32$個。

したがって、正八角形と辺を共有しない三角形の数は、

$56 - 32 = 24$個。

3. 最終的な答え

(1) 8個

(2) 24個