台形ABCDにおいて、AD // BCであり、P, Qはそれぞれ辺AB, DCの中点である。RはACとPDの交点である。AD = 6cm, BC = 16cmのとき、RQ : QCの値を求める。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、AD // BCであり、P, Qはそれぞれ辺AB, DCの中点である。RはACとPDの交点である。AD = 6cm, BC = 16cmのとき、RQ : QCの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、中点連結定理を利用する。

線分PQは、台形ABCDの中点連結線なので、ADとBCに平行であり、その長さは、

$PQ = \frac{AD + BC}{2} = \frac{6+16}{2} = \frac{22}{2} = 11$となる。

次に、$\triangle ADC$において、QはDCの中点であるから、線分AQは中線である。

また、RはPDとACの交点である。

$\triangle ADC$において、中線AQと、頂点Dを通る直線DPの交点Rを考える。

メネラウスの定理より、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BC}{CD} \cdot \frac{DR}{RA} = 1$

ここで、AR/RC = 1である。

$\frac{DR}{RP} \cdot \frac{PB}{BA} \cdot \frac{AC}{CR} = 1$

$\triangle ADC$において、RはAC上の点なので、$\triangle PQC$と$\triangle PRA$は相似ではないかと予想できる。

ここで、$\triangle ADR \sim \triangle CBR$を考える。

相似比は、AD : BC = 6 : 16 = 3 : 8である。

したがって、AR : RC = 3 : 8となる。

AR = 3x, RC = 8xとすると、AC = AR + RC = 11xである。

ACの中点がQなので、AQ = QC = 11x/2となる。

RQ = AQ - AR = 11x/2 - 3x = 5x/2となる。

RQ : QC = (5x/2) : (11x/2) = 5 : 11。

$\triangle PQD$と$\triangle CRD$で相似を考えると，

PDとCDの比はわからないので、うまくいかない。

しかし、QはDCの中点なので、DQ = QCである。

$\triangle ARD \sim \triangle CRB$で、AR : RC = AD : BC = 6 : 16 = 3 : 8となる。

よって、$\triangle PRD$と$\triangle CRD$について考察する。

別解として、線分ADを延長して、線分BCの延長と交わるところを点Eとする。

$\triangle EAD \sim \triangle EBC$なので、相似比は3:8。

AE : BE = DE : CE = 3 : 8。

PとQはそれぞれ中点なので、

PQ = 11。

線分PQは、BCに平行なので、$\triangle ERQ \sim \triangle EBC$となる。

RQ : BC = ER : EC

RQ : 16 = ER : EC

ER = EC - RC

$\triangle ARD \sim \triangle CRB$を利用して、AR/RC=3/8である。

AC = AR+RCなので、AR=3x, RC=8xとおくと、AC = 11xとなる。

QはACの中点なので、AQ = QC = (11/2)xとなる。

RQ = AQ - AR = (11/2)x - 3x = (5/2)xとなる。

RQ : QC = (5/2)x : (11/2)x = 5 : 11となる。

3. 最終的な答え

5:11

選択肢の中に正解がないので、問題文に誤りがあるか、選択肢が間違っている可能性があります。

ですが、計算上では、RQ:QC = 5:11 となります。

選択肢の中で一番近いものは、

3. 5:7 でしょうか。

考え方を変えてみます。

AR:RC = 3:8

なのでAC=11。

点QはACの中点なので、AQ=QC=5.5

RQ=AQ-AR=5.5-3=2.5

RQ:QC = 2.5:5.5 = 5:11

正解の選択肢がないです。