三角形OABにおいて、以下の条件を満たす点Pの存在範囲を求めます。 (1) $\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$, $1 \le s+t \le 3$, $s \ge 0$, $t \ge 0$ (2) $\vec{OP} = (s+t)\vec{OA} + t\vec{OB}$, $0 \le s \le 1$, $0 \le t \le 1$

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、以下の条件を満たす点Pの存在範囲を求めます。

(1) $\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$, $1 \le s+t \le 3$, $s \ge 0$, $t \ge 0$

(2) $\vec{OP} = (s+t)\vec{OA} + t\vec{OB}$, $0 \le s \le 1$, $0 \le t \le 1$

2. 解き方の手順

(1) まず、$s+t = k$とおきます。すると、$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB} = s\vec{OA} + (k-s)\vec{OB} = k(\frac{s}{k}\vec{OA} + \frac{k-s}{k}\vec{OB})$となります。

ここで、$\frac{s}{k} = s'$ とおくと、$\frac{k-s}{k} = 1-s'$ であり、$0 \le s' \le 1$となります。したがって、$\vec{OP} = k(s'\vec{OA} + (1-s')\vec{OB})$となり、これは線分ABを$(1-s'):s'$に内分する点をCとすると、$\vec{OC} = s'\vec{OA} + (1-s')\vec{OB}$なので、$\vec{OP} = k\vec{OC}$となります。

$1 \le k \le 3$なので、線分AB上の点Cに対して、$\vec{OP} = k\vec{OC}$を満たす点Pは、線分OCを$k$倍した位置にあります。$k$が1から3まで変化するので、点Pは線分AB上の点から原点Oを通る直線上で、Oからの距離が1倍から3倍まで変化する範囲全体となります。具体的には、線分AB, $3\vec{OA}$, $3\vec{OB}$を頂点とする平行四辺形の内部と周上となります。

(2) $\vec{OP} = (s+t)\vec{OA} + t\vec{OB} = s\vec{OA} + t(\vec{OA}+\vec{OB})$ と変形できます。ここで $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$ とおくと、$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OC}$ となります。$0 \le s \le 1$ かつ $0 \le t \le 1$なので、$\vec{OP}$ が表す領域は、O, A, Cを頂点とする三角形OACと、A,CをそれぞれB,Dに平行移動した点をDとすると、四角形OADBは平行四辺形なので、OCはADに平行となる。

$\vec{OP}$が表す領域は平行四辺形OADCとその内部となります。

3. 最終的な答え

(1) 線分AB, $3\vec{OA}$, $3\vec{OB}$を頂点とする平行四辺形の内部と周上

(2) 平行四辺形OADCとその内部 (ただしCは$\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{OB}$を満たす点)