(1) 重心と外心が一致する三角形は正三角形であることを証明する。 (2) 重心と内心が一致する三角形は正三角形であることを証明する。

1. 問題の内容

(1) 重心と外心が一致する三角形は正三角形であることを証明する。

(2) 重心と内心が一致する三角形は正三角形であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) 重心と外心が一致する三角形について:

三角形ABCにおいて、重心と外心が一致すると仮定する。

このとき、重心と外心の位置は同じ点Oである。

重心は中線を2:1に内分する点である。

外心は各辺の垂直二等分線の交点であり、各頂点からの距離が等しい。つまり、OA=OB=OCである。

Oが重心であることから、中線AM上にOが存在し、AO:OM = 2:1 である。同様に、中線BN上にOが存在し、BO:ON = 2:1 である。

Oが外心であることから、OA=OBである。したがって、AO=BO。

AO:OM = BO:ON = 2:1より、OM=ONである。

OMは辺BCの中点MからOまでの距離であり、ONは辺ACの中点NからOまでの距離である。

三角形OBCと三角形OACにおいて、OB=OA, OCは共通, OM=ONである。

ここで、M, NはそれぞれBC, ACの中点であるから、OM, ONはそれぞれ辺BC, ACからの距離を表している。

三角形OBCの面積は$\frac{1}{2} \times BC \times OM$であり、三角形OACの面積は$\frac{1}{2} \times AC \times ON$である。

OA=OB=OCより、Oは三角形ABCの外心であるから、三角形OBCと三角形OACの面積は等しい。

したがって、$\frac{1}{2} \times BC \times OM = \frac{1}{2} \times AC \times ON$。

OM=ONより、BC=ACとなる。

同様に、AB=BCを示すことができる。

したがって、AB=BC=CAとなり、三角形ABCは正三角形である。

(2) 重心と内心が一致する三角形について:

三角形ABCにおいて、重心と内心が一致すると仮定する。

このとき、重心と内心の位置は同じ点Oである。

重心は中線を2:1に内分する点である。

内心は角の二等分線の交点であり、各辺からの距離が等しい。

Oが内心であることから、点Oから辺AB, BC, CAまでの距離はすべて等しい。これを$r$とする。

Oが重心であることから、中線AM上にOが存在し、AO:OM = 2:1 である。同様に、中線BN上にOが存在し、BO:ON = 2:1 である。

三角形OAB, OBC, OCAの面積はそれぞれ$\frac{1}{2} \times AB \times r$, $\frac{1}{2} \times BC \times r$, $\frac{1}{2} \times CA \times r$である。

三角形ABCの面積は、これらの和に等しい。つまり、

三角形ABCの面積 = $\frac{1}{2}r(AB+BC+CA)$

重心と内心が一致するという条件から、三角形ABCは少なくとも二等辺三角形である。例えば、AB=ACとする。

このとき、中線AMは角Aの二等分線にもなっている。

したがって、三角形ABMと三角形ACMは合同である。

BM=CMであるから、AMはBCの垂直二等分線でもある。

よって、三角形ABCは正三角形である。

3. 最終的な答え

(1) 重心と外心が一致する三角形は、正三角形である。

(2) 重心と内心が一致する三角形は、正三角形である。