(1) ベクトル $\vec{a} = (3, 1)$ と平行で、大きさが $3\sqrt{10}$ のベクトル $\vec{p}$ の成分を求めます。 (2) ベクトル $\vec{b} = (-1, 1)$ と逆方向の単位ベクトル $\vec{e}$ の成分を求めます。 (3) 3点 $A(3,2)$, $B(x,3)$, $C(-2,1)$ が同一直線上にあるとき、$x$ の値を求めます。 (4) 4点 $A(1,2)$, $B(3,1)$, $C(4,1)$, $D(x,y)$ において、四角形 $ABDC$ が平行四辺形となるとき、$D$ の座標を求めます。

はい、承知いたしました。画像にある問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a} = (3, 1)$ と平行で、大きさが $3\sqrt{10}$ のベクトル $\vec{p}$ の成分を求めます。

(2) ベクトル $\vec{b} = (-1, 1)$ と逆方向の単位ベクトル $\vec{e}$ の成分を求めます。

(3) 3点 $A(3,2)$, $B(x,3)$, $C(-2,1)$ が同一直線上にあるとき、$x$ の値を求めます。

(4) 4点 $A(1,2)$, $B(3,1)$, $C(4,1)$, $D(x,y)$ において、四角形 $ABDC$ が平行四辺形となるとき、$D$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) ベクトル $\vec{a}$ と平行なベクトルは、実数 $k$ を用いて $k\vec{a} = (3k, k)$ と表せます。

このベクトルの大きさが $3\sqrt{10}$ であることから、

$\sqrt{(3k)^2 + k^2} = 3\sqrt{10}$

$\sqrt{9k^2 + k^2} = 3\sqrt{10}$

$\sqrt{10k^2} = 3\sqrt{10}$

$\sqrt{10}|k| = 3\sqrt{10}$

$|k| = 3$

$k = \pm 3$

よって、$\vec{p} = (3 \cdot 3, 3) = (9, 3)$ または $\vec{p} = (3 \cdot (-3), -3) = (-9, -3)$

(2) ベクトル $\vec{b} = (-1, 1)$ の単位ベクトル $\vec{u}$ を求めます。

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\vec{u} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{(-1, 1)}{\sqrt{2}} = (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$

$\vec{e}$ は $\vec{b}$ と逆方向の単位ベクトルなので、

$\vec{e} = -\vec{u} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$

(3) 3点 $A$, $B$, $C$ が同一直線上にあるとき、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ は平行です。

$\vec{AB} = (x-3, 3-2) = (x-3, 1)$

$\vec{AC} = (-2-3, 1-2) = (-5, -1)$

$\vec{AB} = k\vec{AC}$ となる実数 $k$ が存在するので、

$(x-3, 1) = k(-5, -1)$

$x-3 = -5k$

$1 = -k$

$k = -1$

$x-3 = -5(-1)$

$x-3 = 5$

$x = 8$

(4) 四角形 $ABDC$ が平行四辺形なので、$\vec{AB} = \vec{CD}$ が成り立ちます。

$\vec{AB} = (3-1, 1-2) = (2, -1)$

$\vec{CD} = (x-4, y-1)$

$(2, -1) = (x-4, y-1)$

$x-4 = 2$

$y-1 = -1$

$x = 6$

$y = 0$

よって $D(6, 0)$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{p} = (9, 3)$ または $\vec{p} = (-9, -3)$

(2) $\vec{e} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$

(3) $x = 8$

(4) $D(6, 0)$