ABを直径とする半円の周上に点Cがあり、$AB=5$, $AC=4$, ACの中点をDとし、直線BDと円周の交点をEとする。 (1) BEの長さを求めよ。 (2) 四角形ABCEの面積を求めよ。

## 9.の問題

1. 問題の内容

ABを直径とする半円の周上に点Cがあり、$AB=5$, $AC=4$, ACの中点をDとし、直線BDと円周の交点をEとする。

(1) BEの長さを求めよ。

(2) 四角形ABCEの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BEの長さを求める。

まず、$\triangle ABC$で三平方の定理より、$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25-16} = \sqrt{9} = 3$ である。

次に、DはACの中点なので、$AD=DC=AC/2 = 4/2 = 2$ である。

$\triangle ABD$で余弦定理より、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$

ここで、$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}$ である。

よって、

$BD^2 = 5^2 + 2^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot \frac{4}{5} = 25 + 4 - 16 = 13$

$BD = \sqrt{13}$

方べきの定理より、$AD \cdot AC = BD \cdot DF$, ここでFはBDと半円の交点(Eではない交点)である。

$AD \cdot AC = BD \cdot DE$, つまり、$2 \cdot 4 = DE \cdot \sqrt{13}$

$DE = \frac{8}{\sqrt{13}} = \frac{8\sqrt{13}}{13}$

また、$BD \cdot DE = AD \cdot AC$ なので、$BD \cdot DE = 2 \cdot 4 = 8$.

$BE = x$ とすると、$\triangle ABE$において余弦定理より、

$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2AB \cdot BE \cos B$

$\cos B = BC/AB = 3/5$

$AE^2 = 5^2 + x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x \cdot \frac{3}{5} = 25 + x^2 - 6x$

$\angle ACB = 90^\circ$ より $\angle ACE + \angle BCE = 90^\circ$

円周角の定理より $\angle AEB = 90^\circ$

$\triangle ABE$ において三平方の定理が成立する。

$AB^2 = AE^2 + BE^2$

$25 = AE^2 + x^2$

$AE^2 = 25 - x^2$

$25 - x^2 = 25 + x^2 - 6x$

$2x^2 - 6x = 0$

$2x(x-3) = 0$

$x=0, 3$

$x=0$は不適なので、$x=3$.

よって、$BE=3$.

(2) 四角形ABCEの面積を求める。

四角形ABCEの面積は、$\triangle ABC + \triangle ACE$ である。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$

$\triangle ACE = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot CE$

$AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$

$\triangle BCE$で三平方の定理より、$CE = \sqrt{BE^2 + BC^2 - 2BE \cdot BC \cos B}$

$CE^2 = BE^2 + BC^2$

$CE = \sqrt{AC^2 + AE^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

$\triangle ACE = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot CE \sin \angle ACE$

$\angle ACE = \angle ACB + \angle BCE = 90 + \angle BCE$

$\triangle ACE = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$

$AE=BC=3$,なので$\triangle ACEと\triangle ABCは合同ではない$.

$\sin \angle ABC = \frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$, $\cos \angle ABC = \frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$

$\sin \angle ABE = 0$

$\triangle ACE = \frac{1}{2} AE \cdot AC \sin(\angle CAE)$.

$\angle BAE = 0$

$\angle BCE = 90^\circ$.

$\sin C = AC/AB$.

四角形ABCEの面積 = $\frac{1}{2}AC \times BC + \frac{1}{2}AE \times CE$.

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$

$\triangle ABE$, $AE = \sqrt{25 - 9} = 4$

$\angle AEC = 90^{\circ}$.

$CE = \sqrt{AC^2 + AE^2 - 2 AC \cdot AE \cdot \cos (2 \cdot 45)} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

四角形ABCEの面積は、$\triangle ABC + \triangle ACE = 6 + \frac{1}{2}AC \cdot CE$, $AE = BC, AE=3$

$AE \perp AC$.

$AC \cdot BC/2 = 6$. $\triangle ACE = 6$.

台形 ABCE $= 6 + 8 = 14$.

3. 最終的な答え

(1) BEの長さ：3

(2) 四角形ABCEの面積：14