直線 $l: x - 3y = 0$ に関して、点 $P(4, -2)$ と対称な点 $Q$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: x - 3y = 0$ に関して、点 $P(4, -2)$ と対称な点 $Q$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

点 $Q$ の座標を $(a, b)$ とする。

点 $P(4, -2)$ と点 $Q(a, b)$ の中点を $M$ とすると、 $M$ は直線 $l$ 上にある。

$M$ の座標は $(\frac{4+a}{2}, \frac{-2+b}{2})$ である。

$M$ が直線 $l$ 上にあるので、

$\frac{4+a}{2} - 3 \cdot \frac{-2+b}{2} = 0$

$4+a - 3(-2+b) = 0$

$4+a + 6 - 3b = 0$

$a - 3b = -10$ ...(1)

また、直線 $PQ$ は直線 $l$ と垂直である。

直線 $l$ の傾きは $\frac{1}{3}$ である。

直線 $PQ$ の傾きは $\frac{b-(-2)}{a-4} = \frac{b+2}{a-4}$ である。

直線 $PQ$ と直線 $l$ が垂直なので、

$\frac{b+2}{a-4} \cdot \frac{1}{3} = -1$

$b+2 = -3(a-4)$

$b+2 = -3a+12$

$3a + b = 10$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解く。

(1)より $a = 3b - 10$

これを(2)に代入して、

$3(3b-10) + b = 10$

$9b - 30 + b = 10$

$10b = 40$

$b = 4$

$a = 3 \cdot 4 - 10 = 12 - 10 = 2$

したがって、点 $Q$ の座標は $(2, 4)$ である。

3. 最終的な答え

(2, 4)