直線 $3x + 2y = 0$ に関して、点 $P(-5, 1)$ と対称な点 $Q$ の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $3x + 2y = 0$ に関して、点 $P(-5, 1)$ と対称な点 $Q$ の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $Q$ の座標を $(a, b)$ とします。

線分 $PQ$ の中点を $M$ とすると、$M$ の座標は $(\frac{a-5}{2}, \frac{b+1}{2})$ となります。

点 $M$ は直線 $3x + 2y = 0$ 上にあるので、

$$3(\frac{a-5}{2}) + 2(\frac{b+1}{2}) = 0$$

これを整理すると、

$$3(a-5) + 2(b+1) = 0$$

$$3a - 15 + 2b + 2 = 0$$

$$3a + 2b = 13 \qquad (1)$$

次に、直線 $PQ$ は直線 $3x + 2y = 0$ と直交するので、それぞれの傾きの積は $-1$ となります。

直線 $3x + 2y = 0$ の傾きは $-\frac{3}{2}$ です。

直線 $PQ$ の傾きは $\frac{b-1}{a+5}$ です。

よって、

$$\frac{b-1}{a+5} \times (-\frac{3}{2}) = -1$$

$$\frac{b-1}{a+5} = \frac{2}{3}$$

$$3(b-1) = 2(a+5)$$

$$3b - 3 = 2a + 10$$

$$2a - 3b = -13 \qquad (2)$$

(1) と (2) の連立方程式を解きます。

(1) × 3 + (2) × 2 を計算すると、

$$(9a + 6b) + (4a - 6b) = 39 - 26$$

$$13a = 13$$

$$a = 1$$

(1) に $a = 1$ を代入すると、

$$3(1) + 2b = 13$$

$$2b = 10$$

$$b = 5$$

したがって、$Q$ の座標は $(1, 5)$ となります。

3. 最終的な答え

(1, 5)