直角三角形ABCにおいて、$\angle C = 90^\circ$, $\angle A = \theta$, $AB = k$とする。頂点Cから辺ABに下ろした垂線をCDとするとき、次の線分の長さを$k, \theta$を用いて表す。 (1) BC (2) AC (3) AD (4) CD

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$\angle C = 90^\circ$, $\angle A = \theta$, $AB = k$とする。頂点Cから辺ABに下ろした垂線をCDとするとき、次の線分の長さを$k, \theta$を用いて表す。

(1) BC

(2) AC

(3) AD

(4) CD

2. 解き方の手順

(1) BCの長さを求める。

三角形ABCにおいて、$\angle A = \theta$, $\angle C = 90^\circ$, $AB = k$であるから、

$\sin\theta = \frac{BC}{AB}$

よって、

$BC = AB\sin\theta = k\sin\theta$

(2) ACの長さを求める。

三角形ABCにおいて、$\angle A = \theta$, $\angle C = 90^\circ$, $AB = k$であるから、

$\cos\theta = \frac{AC}{AB}$

よって、

$AC = AB\cos\theta = k\cos\theta$

(3) ADの長さを求める。

三角形ADCにおいて、$\angle A = \theta$, $\angle D = 90^\circ$, $AC = k\cos\theta$であるから、

$\cos\theta = \frac{AD}{AC}$

よって、

$AD = AC\cos\theta = k\cos\theta \cdot \cos\theta = k\cos^2\theta$

(4) CDの長さを求める。

三角形ADCにおいて、$\angle A = \theta$, $\angle D = 90^\circ$, $AC = k\cos\theta$であるから、

$\sin\theta = \frac{CD}{AC}$

よって、

$CD = AC\sin\theta = k\cos\theta \cdot \sin\theta = k\sin\theta\cos\theta$

3. 最終的な答え

(1) $BC = k\sin\theta$

(2) $AC = k\cos\theta$

(3) $AD = k\cos^2\theta$

(4) $CD = k\sin\theta\cos\theta$