$\theta$が鋭角で$\sin\theta = \frac{3}{5}$のとき、以下の値を求めよ。 (1) $\cos\theta$ (2) $\sin2\theta$ (3) $\cos\frac{\theta}{2}$

1. 問題の内容

$\theta$が鋭角で$\sin\theta = \frac{3}{5}$のとき、以下の値を求めよ。

(1) $\cos\theta$

(2) $\sin2\theta$

(3) $\cos\frac{\theta}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\cos\theta$を求める。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$の関係式を利用する。

$\sin\theta = \frac{3}{5}$を代入すると、

$(\frac{3}{5})^2 + \cos^2\theta = 1$

$\frac{9}{25} + \cos^2\theta = 1$

$\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\theta$は鋭角なので、$\cos\theta > 0$であるから、

$\cos\theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

(2) $\sin2\theta$を求める。

$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$の関係式を利用する。

$\sin\theta = \frac{3}{5}$と$\cos\theta = \frac{4}{5}$を代入すると、

$\sin2\theta = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$

(3) $\cos\frac{\theta}{2}$を求める。

$\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1$の関係式を利用する。

$\cos\theta = \frac{4}{5}$を代入すると、

$\frac{4}{5} = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1$

$2\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{4}{5} + 1 = \frac{9}{5}$

$\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{9}{10}$

$\theta$は鋭角なので、$\frac{\theta}{2}$も鋭角であり、$\cos\frac{\theta}{2} > 0$であるから、

$\cos\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos\theta = \frac{4}{5}$

(2) $\sin2\theta = \frac{24}{25}$

(3) $\cos\frac{\theta}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$