直線 $l: y=2x+1$ 上の点 $A(3,7)$ において、直線 $l$ に接する半径 5 の円が2つ存在する。 これらの円の中心を $x$ 座標の大きい順に $B, C$ とするとき、$B, C$ の座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: y=2x+1$ 上の点 $A(3,7)$ において、直線 $l$ に接する半径 5 の円が2つ存在する。 これらの円の中心を $x$ 座標の大きい順に $B, C$ とするとき、$B, C$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、円の中心を $(x, y)$ とする。円の中心から直線 $l$ までの距離は半径 5 に等しい。

点 $A(3, 7)$ は直線 $l$ 上の点なので、円の中心から点 $A$ を結ぶ直線は、直線 $l$ と直交する。

直線 $l$ の傾きは 2 なので、点 $A$ を通り直線 $l$ に垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{2}$ である。

したがって、円の中心は、点 $A(3, 7)$ を通り、傾き $-\frac{1}{2}$ の直線上にある。

円の中心 $(x, y)$ は、以下の式を満たす。

$y - 7 = -\frac{1}{2}(x - 3)$

$2y - 14 = -x + 3$

$x = -2y + 17$

また、円の中心から点 $A(3, 7)$ までの距離は 5 なので、

$(x - 3)^2 + (y - 7)^2 = 5^2$

$(x - 3)^2 + (y - 7)^2 = 25$

$x = -2y + 17$ を代入すると、

$(-2y + 17 - 3)^2 + (y - 7)^2 = 25$

$(-2y + 14)^2 + (y - 7)^2 = 25$

$(2(7 - y))^2 + (y - 7)^2 = 25$

$4(y - 7)^2 + (y - 7)^2 = 25$

$5(y - 7)^2 = 25$

$(y - 7)^2 = 5$

$y - 7 = \pm \sqrt{5}$

$y = 7 \pm \sqrt{5}$

$x = -2y + 17$ より、

$y = 7 + \sqrt{5}$ のとき、 $x = -2(7 + \sqrt{5}) + 17 = -14 - 2\sqrt{5} + 17 = 3 - 2\sqrt{5}$

$y = 7 - \sqrt{5}$ のとき、 $x = -2(7 - \sqrt{5}) + 17 = -14 + 2\sqrt{5} + 17 = 3 + 2\sqrt{5}$

したがって、円の中心は $(3 + 2\sqrt{5}, 7 - \sqrt{5})$ と $(3 - 2\sqrt{5}, 7 + \sqrt{5})$ である。

$3 + 2\sqrt{5} > 3 - 2\sqrt{5}$ なので、

$B(3 + 2\sqrt{5}, 7 - \sqrt{5})$, $C(3 - 2\sqrt{5}, 7 + \sqrt{5})$

3. 最終的な答え

$B(3 + 2\sqrt{5}, 7 - \sqrt{5})$

$C(3 - 2\sqrt{5}, 7 + \sqrt{5})$