円 $C: x^2 + y^2 = 5$ について、 (1) 円C上の点 $(1, -2)$ における接線の方程式を求める。 (2) 点 $(3, 1)$ を通るCの接線の方程式を求める。 (3) 直線 $x + 3y - 6 = 0$ に平行なCの接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

円 $C: x^2 + y^2 = 5$ について、

(1) 円C上の点 $(1, -2)$ における接線の方程式を求める。

(2) 点 $(3, 1)$ を通るCの接線の方程式を求める。

(3) 直線 $x + 3y - 6 = 0$ に平行なCの接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $x_1x + y_1y = r^2$ で与えられる。

したがって、円 $x^2 + y^2 = 5$ 上の点 $(1, -2)$ における接線の方程式は

$1 \cdot x + (-2) \cdot y = 5$

$x - 2y = 5$

(2) 点 $(3, 1)$ を通る接線を $y = m(x - 3) + 1$ とする。これは、$mx - y - 3m + 1 = 0$ と書き換えられる。

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $mx - y - 3m + 1 = 0$ の距離が円の半径 $\sqrt{5}$ に等しくなる条件から $m$ を求める。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|m \cdot 0 - 1 \cdot 0 - 3m + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{5}$

$\frac{|-3m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$

$(-3m + 1)^2 = 5(m^2 + 1)$

$9m^2 - 6m + 1 = 5m^2 + 5$

$4m^2 - 6m - 4 = 0$

$2m^2 - 3m - 2 = 0$

$(2m + 1)(m - 2) = 0$

$m = -\frac{1}{2}, 2$

$m = -\frac{1}{2}$ のとき、 $y = -\frac{1}{2}(x - 3) + 1 = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$。したがって、 $x + 2y - 5 = 0$.

$m = 2$ のとき、 $y = 2(x - 3) + 1 = 2x - 5$。したがって、 $2x - y - 5 = 0$.

(3) 直線 $x + 3y - 6 = 0$ に平行な直線の傾きは $-\frac{1}{3}$ である。

したがって、接線の方程式は $y = -\frac{1}{3}x + k$ と表せる。

$x + 3y - 3k = 0$

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $x + 3y - 3k = 0$ の距離が円の半径 $\sqrt{5}$ に等しくなる条件から $k$ を求める。

$\frac{|1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 3k|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \sqrt{5}$

$\frac{|-3k|}{\sqrt{10}} = \sqrt{5}$

$|-3k| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

$-3k = \pm 5\sqrt{2}$

$k = \mp \frac{5\sqrt{2}}{3}$

$y = -\frac{1}{3}x \mp \frac{5\sqrt{2}}{3}$

$3y = -x \mp 5\sqrt{2}$

$x + 3y \pm 5\sqrt{2} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x - 2y = 5$

(2) $x + 2y - 5 = 0$, $2x - y - 5 = 0$

(3) $x + 3y + 5\sqrt{2} = 0$, $x + 3y - 5\sqrt{2} = 0$