(1) 一辺の長さが1である正四面体ABCDにおいて、三角形BCDの重心をPとする。点Gを $\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{4}$ を満たす点とする。 (ア) 線分AGの長さを求める。 (イ) 3点A, G, Pが同一直線上にあることを示す。 (ウ) AG:GP を求める。 (2) 座標空間において、点A(1,2,0), B(2,3,-1)をとり、2点A,Bを通る直線をlとする。実数tが定める点P(t,-t,3t)に対して、直線l上に点Qを、線分PQと直線lが直交するようにとる。 (ア) 点Qの座標をtを用いて表す。 (イ) tを変化させるとき、線分PQの長さが最小となるようなtの値を求める。

1. 問題の内容

(1) 一辺の長さが1である正四面体ABCDにおいて、三角形BCDの重心をPとする。点Gを $\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{4}$ を満たす点とする。

(ア) 線分AGの長さを求める。

(イ) 3点A, G, Pが同一直線上にあることを示す。

(ウ) AG:GP を求める。

(2) 座標空間において、点A(1,2,0), B(2,3,-1)をとり、2点A,Bを通る直線をlとする。実数tが定める点P(t,-t,3t)に対して、直線l上に点Qを、線分PQと直線lが直交するようにとる。

(ア) 点Qの座標をtを用いて表す。

(イ) tを変化させるとき、線分PQの長さが最小となるようなtの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) (ア)

$\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{4}$

$|\overrightarrow{AG}|^2 = \frac{|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AD}|^2 + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}}{16}$

正四面体なので、すべての辺の長さは1であり、隣り合う辺のなす角は $60^\circ$ である。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\angle BAC} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

同様に、$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}$, $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}$

$|\overrightarrow{AG}|^2 = \frac{1+1+1+2\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{2}}{16} = \frac{1+1+1+1+1+1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

$|\overrightarrow{AG}| = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

(イ)

$\overrightarrow{AP} = k\overrightarrow{AG}$ (kは実数)とおけることを示す。

$\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{3}$

$\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{4}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{4}{3} \overrightarrow{AG}$

よって、$\overrightarrow{AP} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AG}$なので、A, G, Pは同一直線上にある。

(ウ)

$\overrightarrow{AG} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AP}$

$\overrightarrow{GP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AP} - \frac{3}{4} \overrightarrow{AP} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AP}$

$AG:GP = \frac{3}{4} |\overrightarrow{AP}| : \frac{1}{4} |\overrightarrow{AP}| = 3:1$

3. 最終的な答え

(1) (ア) $|\overrightarrow{AG}| = \frac{\sqrt{6}}{4}$

(イ) A, G, Pは同一直線上にある

(ウ) AG:GP = 3:1