直線 $l: y = 2x + 1$ 上の点 $A(3, 7)$ を考える。点 $A$ で直線 $l$ に接する半径 $5$ の円は二つ存在する。この円の中心を、$x$ 座標の大きい方から順に $B, C$ とするとき、$B, C$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = 2x + 1$ 上の点 $A(3, 7)$ を考える。点 $A$ で直線 $l$ に接する半径 $5$ の円は二つ存在する。この円の中心を、$x$ 座標の大きい方から順に $B, C$ とするとき、$B, C$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、直線 $l$ に垂直な直線の傾きを求める。直線 $l$ の傾きは $2$ なので、垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{2}$ である。

次に、点 $A(3, 7)$ を通り、傾きが $-\frac{1}{2}$ の直線を求める。この直線の方程式は、

$y - 7 = -\frac{1}{2}(x - 3)$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} + 7$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{17}{2}$

求める円の中心は、この直線上にあり、$A(3, 7)$ からの距離が $5$ である。円の中心を $(x, y)$ とすると、

$(x - 3)^2 + (y - 7)^2 = 5^2 = 25$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{17}{2}$

これを代入すると、

$(x - 3)^2 + (-\frac{1}{2}x + \frac{17}{2} - 7)^2 = 25$

$(x - 3)^2 + (-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2})^2 = 25$

$x^2 - 6x + 9 + \frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{4} = 25$

$\frac{5}{4}x^2 - \frac{15}{2}x + \frac{45}{4} = 25$

$5x^2 - 30x + 45 = 100$

$5x^2 - 30x - 55 = 0$

$x^2 - 6x - 11 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-11)}}{2(1)}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 44}}{2}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{80}}{2}$

$x = \frac{6 \pm 4\sqrt{5}}{2}$

$x = 3 \pm 2\sqrt{5}$

$x$ 座標の大きい順に $B, C$ なので、

$B: x = 3 + 2\sqrt{5}$

$C: x = 3 - 2\sqrt{5}$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{17}{2}$ より、

$B: y = -\frac{1}{2}(3 + 2\sqrt{5}) + \frac{17}{2} = -\frac{3}{2} - \sqrt{5} + \frac{17}{2} = \frac{14}{2} - \sqrt{5} = 7 - \sqrt{5}$

$C: y = -\frac{1}{2}(3 - 2\sqrt{5}) + \frac{17}{2} = -\frac{3}{2} + \sqrt{5} + \frac{17}{2} = \frac{14}{2} + \sqrt{5} = 7 + \sqrt{5}$

したがって、

$B(3 + 2\sqrt{5}, 7 - \sqrt{5})$

$C(3 - 2\sqrt{5}, 7 + \sqrt{5})$

3. 最終的な答え

$B(3 + 2\sqrt{5}, 7 - \sqrt{5})$

$C(3 - 2\sqrt{5}, 7 + \sqrt{5})$