円 $(x+1)^2 + (y-3)^2 = r^2$ が円 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 49$ の内部にあるとき、半径 $r$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

円 $(x+1)^2 + (y-3)^2 = r^2$ が円 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 49$ の内部にあるとき、半径 $r$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの円の中心間の距離を $d$ とする。

円 $(x+1)^2 + (y-3)^2 = r^2$ の中心は $(-1, 3)$ であり、半径は $r$ である。

円 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 49$ の中心は $(2, -1)$ であり、半径は $7$ である。

2つの円の中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

小さい円が内部にあるためには、$r + d < 7$ が必要である。

$r + 5 < 7$

$r < 2$

また、$r$ は半径なので、$r > 0$ である。

したがって、$0 < r < 2$ である。

3. 最終的な答え

$0 < r < 2$