点(4, 2)から円 $x^2 + y^2 = 10$ に引いた2つの接線の接点をA, Bとする。 (1) 2点A, Bの座標を求めよ。 (2) 直線ABの方程式を求めよ。

1. 問題の内容

点(4, 2)から円 $x^2 + y^2 = 10$ に引いた2つの接線の接点をA, Bとする。

(1) 2点A, Bの座標を求めよ。

(2) 直線ABの方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点A, Bの座標を求める。

点A, Bは円 $x^2 + y^2 = 10$ 上の点である。

点Aを$(x_1, y_1)$, 点Bを$(x_2, y_2)$とする。

点(4, 2)から円に引いた接線の方程式はそれぞれ $x_1x + y_1y = 10$ と $x_2x + y_2y = 10$ と表せる。

点(4, 2)はこの接線上にあるので、$4x_1 + 2y_1 = 10$かつ$4x_2 + 2y_2 = 10$を満たす。

これは、2点A, Bが直線$4x + 2y = 10$、すなわち$2x + y = 5$上にあることを意味する。

したがって、直線$2x + y = 5$と円$x^2 + y^2 = 10$の交点がA, Bの座標となる。

$y = 5 - 2x$を$x^2 + y^2 = 10$に代入すると、

$x^2 + (5 - 2x)^2 = 10$

$x^2 + 25 - 20x + 4x^2 = 10$

$5x^2 - 20x + 15 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

$x = 1, 3$

$x = 1$のとき、$y = 5 - 2(1) = 3$

$x = 3$のとき、$y = 5 - 2(3) = -1$

したがって、A(1, 3), B(3, -1)となる。

(2) 直線ABの方程式を求める。

(1)より、2点A(1, 3), B(3, -1)を通る直線の方程式を求める。

傾きは$\frac{-1 - 3}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2$

よって、$y - 3 = -2(x - 1)$

$y - 3 = -2x + 2$

$y = -2x + 5$

$2x + y = 5$

3. 最終的な答え

(1) A(1, 3), B(3, -1)

(2) $2x + y = 5$