一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、三角形BCDの重心をPとする。点Gは$\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{4}$を満たす。 (ア) 線分AGの長さを求めよ。 (イ) 3点A, G, Pが同一直線上にあることを示せ。 (ウ) AG:GPを求めよ。 (エ) cos ∠AGB の値を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、三角形BCDの重心をPとする。点Gは$\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{4}$を満たす。

(ア) 線分AGの長さを求めよ。

(イ) 3点A, G, Pが同一直線上にあることを示せ。

(ウ) AG:GPを求めよ。

(エ) cos ∠AGB の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(ア) $\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{4}$ より、

$|\overrightarrow{AG}|^2 = \frac{1}{16}|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}|^2$

$|\overrightarrow{AG}|^2 = \frac{1}{16}(|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AD}|^2 + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB})$

正四面体なので、 $|\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{AD}|^2 = 1$ であり、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}| \cos 60^{\circ} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

よって、

$|\overrightarrow{AG}|^2 = \frac{1}{16}(1 + 1 + 1 + 2(\frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{2})) = \frac{1}{16}(3 + 3) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

したがって、 $|\overrightarrow{AG}| = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

(イ) $\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{3}$

$\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{4}$

$\overrightarrow{AG} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AP}$

よって、3点A, G, Pは同一直線上にある。

(ウ) $\overrightarrow{AG} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AP}$ より、AG:GP = 3:1

(エ) $|\overrightarrow{AG}| = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$|\overrightarrow{AB}| = 1$

$\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AB} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{4} - \overrightarrow{AB} = \frac{-\overrightarrow{3AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{4}$

$|\overrightarrow{BG}|^2 = \frac{1}{16} | -3\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} |^2 = \frac{1}{16}(9|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AD}|^2 -6\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - 6\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD})$

$|\overrightarrow{BG}|^2 = \frac{1}{16}(9 + 1 + 1 - 6(\frac{1}{2}) - 6(\frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{2})) = \frac{1}{16}(11 - 6 + 1) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

$|\overrightarrow{BG}| = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$|\overrightarrow{AG}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{BG}|^2 - 2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BG}| \cos \angle AGB$

$\frac{3}{8} = 1 + \frac{3}{8} - 2(1)(\frac{\sqrt{6}}{4}) \cos \angle AGB$

$0 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2} \cos \angle AGB$

$\frac{\sqrt{6}}{2} \cos \angle AGB = 1$

$\cos \angle AGB = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

(ア) AG = $\frac{\sqrt{6}}{4}$

(イ) 3点A, G, Pは同一直線上にある

(ウ) AG:GP = 3:1

(エ) cos ∠AGB = $\frac{\sqrt{6}}{3}$