問題447は、$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ の範囲で、与えられた三角関数の値を持つ角度 $\theta$ を求める問題です。具体的には、 (1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $\cos \theta = \frac{1}{2}$ (3) $\tan \theta = -1$ (4) $\sin \theta = 1$ (5) $\cos \theta + 1 = 0$ (6) $\tan \theta - \sqrt{3} = 0$ を満たす $\theta$ をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

問題447は、$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ の範囲で、与えられた三角関数の値を持つ角度 $\theta$ を求める問題です。具体的には、

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\cos \theta = \frac{1}{2}$

(3) $\tan \theta = -1$

(4) $\sin \theta = 1$

(5) $\cos \theta + 1 = 0$

(6) $\tan \theta - \sqrt{3} = 0$

を満たす $\theta$ をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ の範囲で $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、$\theta = 60^\circ$ と $\theta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ です。

(2) $\cos \theta = \frac{1}{2}$

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ の範囲で $\cos \theta = \frac{1}{2}$ となるのは、$\theta = 60^\circ$ です。

(3) $\tan \theta = -1$

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ の範囲で $\tan \theta = -1$ となるのは、$\theta = 135^\circ$ です。 ($\tan 135^\circ = \tan (180^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1$)

(4) $\sin \theta = 1$

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ の範囲で $\sin \theta = 1$ となるのは、$\theta = 90^\circ$ です。

(5) $\cos \theta + 1 = 0$

$\cos \theta = -1$

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ の範囲で $\cos \theta = -1$ となるのは、$\theta = 180^\circ$ です。

(6) $\tan \theta - \sqrt{3} = 0$

$\tan \theta = \sqrt{3}$

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ の範囲で $\tan \theta = \sqrt{3}$ となるのは、$\theta = 60^\circ$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$

(2) $\theta = 60^\circ$

(3) $\theta = 135^\circ$

(4) $\theta = 90^\circ$

(5) $\theta = 180^\circ$

(6) $\theta = 60^\circ$