点A(0, 1)を中心とし原点Oを通る円$C_1$がある。点B(0, -1)から円$C_1$に引いた2本の接線の接点をP, Qとする。ただし、点Pのx座標は正とする。y軸に関して対称な放物線$C_2$が直線BPと直線BQにそれぞれ点Pと点Qで接するものとする。 (1) 2点P, Qの座標を求めよ。 (2) 放物線$C_2$を表す方程式を求めよ。 (3) 点Aから放物線$C_2$上の各点までの距離は1以上であることを示せ。 (4) 円$C_1$の原点Oを含む弧PQと放物線$C_2$で囲まれる部分の面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

点A(0, 1)を中心とし原点Oを通る円$C_1$がある。点B(0, -1)から円$C_1$に引いた2本の接線の接点をP, Qとする。ただし、点Pのx座標は正とする。y軸に関して対称な放物線$C_2$が直線BPと直線BQにそれぞれ点Pと点Qで接するものとする。

(1) 2点P, Qの座標を求めよ。

(2) 放物線$C_2$を表す方程式を求めよ。

(3) 点Aから放物線$C_2$上の各点までの距離は1以上であることを示せ。

(4) 円$C_1$の原点Oを含む弧PQと放物線$C_2$で囲まれる部分の面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

円$C_1$の方程式は、中心がA(0, 1)で原点Oを通るので、半径は1であるから、

$x^2 + (y-1)^2 = 1$

つまり、$x^2 + y^2 - 2y = 0$である。

点B(0, -1)から円$C_1$に引いた接線の接点Pを$(x_1, y_1)$とおく。

接線の方程式は、

$x_1 x + (y_1 - 1)(y - 1) = 1$

これが点B(0, -1)を通るので、

$(y_1 - 1)(-1 - 1) = 1$

$-2(y_1 - 1) = 1$

$-2y_1 + 2 = 1$

$2y_1 = 1$

$y_1 = \frac{1}{2}$

これを円$C_1$の方程式に代入すると、

$x_1^2 + (\frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{2}) = 0$

$x_1^2 + \frac{1}{4} - 1 = 0$

$x_1^2 = \frac{3}{4}$

$x_1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Pのx座標は正なので、$x_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、P$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

Qはy軸に関してPと対称なので、Q$(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

(2)

放物線$C_2$の方程式を$y = ax^2 + c$とする。

直線BPの傾きは$\frac{\frac{1}{2} - (-1)}{\frac{\sqrt{3}}{2} - 0} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

直線BPの方程式は、$y - (-1) = \sqrt{3}(x - 0)$

$y = \sqrt{3}x - 1$

放物線$C_2$と直線BPが点Pで接するので、

$ax^2 + c = \sqrt{3}x - 1$

$ax^2 - \sqrt{3}x + c + 1 = 0$

この方程式が重解を持つので、判別式D = 0

$D = (-\sqrt{3})^2 - 4a(c+1) = 0$

$3 - 4a(c+1) = 0$

$4a(c+1) = 3$

また、点P$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$は放物線上にあるので、

$\frac{1}{2} = a(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + c$

$\frac{1}{2} = \frac{3}{4}a + c$

$\frac{3}{4}a + c = \frac{1}{2}$

$3a + 4c = 2$

$3a = 2 - 4c$

$a = \frac{2 - 4c}{3}$

これを$4a(c+1) = 3$に代入して、

$4(\frac{2-4c}{3})(c+1) = 3$

$4(2-4c)(c+1) = 9$

$4(2c + 2 - 4c^2 - 4c) = 9$

$4(-4c^2 - 2c + 2) = 9$

$-16c^2 - 8c + 8 = 9$

$16c^2 + 8c + 1 = 0$

$(4c + 1)^2 = 0$

$4c + 1 = 0$

$c = -\frac{1}{4}$

$a = \frac{2 - 4(-\frac{1}{4})}{3} = \frac{2+1}{3} = \frac{3}{3} = 1$

よって、放物線$C_2$の方程式は、$y = x^2 - \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) P$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$, Q$(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

(2) $y = x^2 - \frac{1}{4}$