2点A(4,-1,2)とB(1,1,3)が与えられたとき、以下の点の座標を求めます。 (1) 線分ABを2:1に内分する点C (2) 線分ABを2:1に外分する点D (3) 三角形ABEが正三角形で、点Eがxy平面上にあるような点E

1. 問題の内容

2点A(4,-1,2)とB(1,1,3)が与えられたとき、以下の点の座標を求めます。

(1) 線分ABを2:1に内分する点C

(2) 線分ABを2:1に外分する点D

(3) 三角形ABEが正三角形で、点Eがxy平面上にあるような点E

2. 解き方の手順

(1) 線分ABを2:1に内分する点Cの座標を求めます。内分点の公式を使用します。点Aの座標を$(x_1, y_1, z_1)$、点Bの座標を$(x_2, y_2, z_2)$、内分比を$m:n$とすると、内分点Cの座標は

$C(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n}, \frac{nz_1 + mz_2}{m+n})$

で与えられます。この問題では、A(4,-1,2), B(1,1,3), m=2, n=1なので、

$C(\frac{1*4 + 2*1}{2+1}, \frac{1*(-1) + 2*1}{2+1}, \frac{1*2 + 2*3}{2+1})$

$C(\frac{4+2}{3}, \frac{-1+2}{3}, \frac{2+6}{3})$

$C(\frac{6}{3}, \frac{1}{3}, \frac{8}{3})$

$C(2, \frac{1}{3}, \frac{8}{3})$

(2) 線分ABを2:1に外分する点Dの座標を求めます。外分点の公式を使用します。点Aの座標を$(x_1, y_1, z_1)$、点Bの座標を$(x_2, y_2, z_2)$、外分比を$m:n$とすると、外分点Dの座標は

$D(\frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n}, \frac{-nz_1 + mz_2}{m-n})$

で与えられます。この問題では、A(4,-1,2), B(1,1,3), m=2, n=1なので、

$D(\frac{-1*4 + 2*1}{2-1}, \frac{-1*(-1) + 2*1}{2-1}, \frac{-1*2 + 2*3}{2-1})$

$D(\frac{-4+2}{1}, \frac{1+2}{1}, \frac{-2+6}{1})$

$D(-2, 3, 4)$

(3) 三角形ABEが正三角形で、点Eがxy平面上にあるような点Eを求めます。

点Eはxy平面上にあるので、E(x,y,0)とおけます。

正三角形の条件より、AB=AE=BEが成り立ちます。

$AB = \sqrt{(4-1)^2+(-1-1)^2+(2-3)^2} = \sqrt{3^2+(-2)^2+(-1)^2} = \sqrt{9+4+1} = \sqrt{14}$

$AE = \sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2+(0-2)^2} = \sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2+4}$

$BE = \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2+(0-3)^2} = \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2+9}$

$AE^2=AB^2$より、$(x-4)^2+(y+1)^2+4 = 14$

$(x-4)^2+(y+1)^2 = 10$

$BE^2=AB^2$より、$(x-1)^2+(y-1)^2+9 = 14$

$(x-1)^2+(y-1)^2 = 5$

$(x-4)^2+(y+1)^2 = 10$を展開すると、$x^2-8x+16+y^2+2y+1=10$より、$x^2-8x+y^2+2y+7=0$

$(x-1)^2+(y-1)^2 = 5$を展開すると、$x^2-2x+1+y^2-2y+1=5$より、$x^2-2x+y^2-2y-3=0$

上の式から下の式を引くと、

$-6x+4y+10=0$

$6x-4y=10$

$3x-2y=5$

$2y=3x-5$

$y=\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}$

これを$x^2-2x+y^2-2y-3=0$に代入すると

$x^2-2x+(\frac{3}{2}x-\frac{5}{2})^2-2(\frac{3}{2}x-\frac{5}{2})-3=0$

$x^2-2x+\frac{9}{4}x^2-\frac{15}{2}x+\frac{25}{4}-3x+5-3=0$

$4x^2-8x+9x^2-30x+25-12x+20-12=0$

$13x^2-50x+33=0$

$(13x-33)(x-1)=0$

$x=1$または$x=\frac{33}{13}$

$x=1$のとき、$y=\frac{3}{2}(1)-\frac{5}{2}=\frac{3-5}{2}=-1$

$x=\frac{33}{13}$のとき、$y=\frac{3}{2}(\frac{33}{13})-\frac{5}{2}=\frac{99}{26}-\frac{65}{26}=\frac{34}{26}=\frac{17}{13}$

したがって、E(1,-1,0)またはE(33/13, 17/13, 0)

3. 最終的な答え

(1) C(2, 1/3, 8/3)

(2) D(-2, 3, 4)

(3) E(1,-1,0)またはE(33/13, 17/13, 0)