問題は、図形に関する複数の小問から構成されています。 * 4: 点対称な点の座標を求める問題 * 5: 三角形の重心の座標を求める問題 * 6: 与えられた条件を満たす点の座標を求める問題 * 7: 与えられた3点を頂点とする三角形が直角三角形であることを示す問題

1. 問題の内容

問題は、図形に関する複数の小問から構成されています。

* 4: 点対称な点の座標を求める問題

* 5: 三角形の重心の座標を求める問題

* 6: 与えられた条件を満たす点の座標を求める問題

* 7: 与えられた3点を頂点とする三角形が直角三角形であることを示す問題

2. 解き方の手順

*4 (1)*

点A(1, -2)に関して点P(3, -5)と対称な点Qの座標を(x, y)とすると、AはPとQの中点であるから、

$1 = \frac{3+x}{2}$

$-2 = \frac{-5+y}{2}$

これらの式を解くと、

$x = 2\times1 - 3 = -1$

$y = 2\times(-2) - (-5) = 1$

*4 (2)*

点A(2, -3)に関して原点O(0, 0)と対称な点Qの座標を(x, y)とすると、AはOとQの中点であるから、

$2 = \frac{0+x}{2}$

$-3 = \frac{0+y}{2}$

これらの式を解くと、

$x = 2\times2 - 0 = 4$

$y = 2\times(-3) - 0 = -6$

*5 (1)*

3点(-1, 4), (3, 2), (4, -3)を頂点とする三角形の重心の座標(x, y)は、

$x = \frac{-1 + 3 + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$y = \frac{4 + 2 - 3}{3} = \frac{3}{3} = 1$

*5 (2)*

3点(2, 2), (6, -1), (-3, 2)を頂点とする三角形の重心の座標(x, y)は、

$x = \frac{2 + 6 - 3}{3} = \frac{5}{3}$

$y = \frac{2 - 1 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$

*6 (1)*

点Pを(x, 0)とする。A(2, 1), B(5, 2)に対して、2AP=BPを満たす。

$2AP = 2\sqrt{(x-2)^2 + (0-1)^2} = 2\sqrt{(x-2)^2 + 1}$

$BP = \sqrt{(x-5)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{(x-5)^2 + 4}$

$2AP = BP$より、

$4((x-2)^2 + 1) = (x-5)^2 + 4$

$4(x^2 - 4x + 4 + 1) = x^2 - 10x + 25 + 4$

$4x^2 - 16x + 20 = x^2 - 10x + 29$

$3x^2 - 6x - 9 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x-3)(x+1) = 0$

$x = 3, -1$

よって、P(3, 0), (-1, 0)

*6 (2)*

点Qを(x, 2x)とする。A(1, -3), B(3, 2)から等距離にある。

$AQ = \sqrt{(x-1)^2 + (2x+3)^2}$

$BQ = \sqrt{(x-3)^2 + (2x-2)^2}$

$AQ = BQ$より、

$(x-1)^2 + (2x+3)^2 = (x-3)^2 + (2x-2)^2$

$x^2 - 2x + 1 + 4x^2 + 12x + 9 = x^2 - 6x + 9 + 4x^2 - 8x + 4$

$5x^2 + 10x + 10 = 5x^2 - 14x + 13$

$24x = 3$

$x = \frac{1}{8}$

よって、Q($\frac{1}{8}, \frac{1}{4}$)

*6 (3)*

点Rを(x, y)とする。A(3, 5), B(2, -2), C(-6, 2)から等距離にある。

$AR^2 = (x-3)^2 + (y-5)^2$

$BR^2 = (x-2)^2 + (y+2)^2$

$CR^2 = (x+6)^2 + (y-2)^2$

$AR^2 = BR^2$より、

$(x-3)^2 + (y-5)^2 = (x-2)^2 + (y+2)^2$

$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 10y + 25 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + 4y + 4$

$-6x - 10y + 34 = -4x + 4y + 8$

$-2x - 14y + 26 = 0$

$x + 7y = 13$

$BR^2 = CR^2$より、

$(x-2)^2 + (y+2)^2 = (x+6)^2 + (y-2)^2$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 4y + 4 = x^2 + 12x + 36 + y^2 - 4y + 4$

$-4x + 4y + 8 = 12x - 4y + 40$

$-16x + 8y - 32 = 0$

$2x - y = -4$

$y = 2x + 4$

$x + 7(2x+4) = 13$

$x + 14x + 28 = 13$

$15x = -15$

$x = -1$

$y = 2(-1) + 4 = 2$

よって、R(-1, 2)

*7*

A(1, 1), B(-1, -1), C(-1, 3)

$AB^2 = (1 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2 = 2^2 + 2^2 = 8$

$BC^2 = (-1 - (-1))^2 + (-1 - 3)^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16$

$CA^2 = (-1 - 1)^2 + (3 - 1)^2 = (-2)^2 + 2^2 = 8$

$AB^2 + CA^2 = 8 + 8 = 16 = BC^2$

したがって、三平方の定理より、$\triangle ABC$は$\angle A = 90^\circ$の直角三角形である。

3. 最終的な答え

* 4 (1): Q(-1, 1)

* 4 (2): Q(4, -6)

* 5 (1): (2, 1)

* 5 (2): ($\frac{5}{3}$, 1)

* 6 (1): P(3, 0), (-1, 0)

* 6 (2): Q($\frac{1}{8}$, $\frac{1}{4}$)

* 6 (3): R(-1, 2)

* 7: $\triangle ABC$は$\angle A = 90^\circ$の直角三角形である。