点A(2, 4)を通り、円 $x^2 + y^2 = 10$ に接する直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

点A(2, 4)を通り、円 $x^2 + y^2 = 10$ に接する直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 接線を $y = mx + n$ とおく。点A(2, 4)を通るので、

$4 = 2m + n$

$n = 4 - 2m$

よって、接線は $y = mx + 4 - 2m$ と表せる。これは $mx - y + 4 - 2m = 0$ とも表せる。

(2) 円の中心(0, 0)から接線までの距離が円の半径 $\sqrt{10}$ に等しいので、点と直線の距離の公式より

$\frac{|m(0) - (0) + 4 - 2m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{10}$

$\frac{|4 - 2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{10}$

両辺を2乗して

$\frac{(4 - 2m)^2}{m^2 + 1} = 10$

$(4 - 2m)^2 = 10(m^2 + 1)$

$16 - 16m + 4m^2 = 10m^2 + 10$

$6m^2 + 16m - 6 = 0$

$3m^2 + 8m - 3 = 0$

$(3m - 1)(m + 3) = 0$

$m = \frac{1}{3}, -3$

(3) $m = \frac{1}{3}$ のとき、 $n = 4 - 2(\frac{1}{3}) = 4 - \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$.

よって、$y = \frac{1}{3}x + \frac{10}{3}$. すなわち $x - 3y + 10 = 0$

(4) $m = -3$ のとき、$n = 4 - 2(-3) = 4 + 6 = 10$.

よって、$y = -3x + 10$. すなわち $3x + y - 10 = 0$

3. 最終的な答え

$x - 3y + 10 = 0$

$3x + y - 10 = 0$