(1) 連立不等式 $\begin{cases} x^2 + y^2 - 4 \ge 0 \\ x + y - 2 \le 0 \end{cases}$ の表す領域を図示する。 (2) 不等式 $(x + y + 1)(x - y - 1) < 0$ の表す領域を図示する。

1. 問題の内容

(1) 連立不等式

$\begin{cases}

x^2 + y^2 - 4 \ge 0 \\

x + y - 2 \le 0

\end{cases}$

の表す領域を図示する。

(2) 不等式 $(x + y + 1)(x - y - 1) < 0$ の表す領域を図示する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^2 + y^2 - 4 \ge 0$ を変形すると、$x^2 + y^2 \ge 4$ となる。これは、中心が原点$(0, 0)$で半径が2の円の外部を表す。円周を含む。

次に、$x + y - 2 \le 0$ を変形すると、$y \le -x + 2$ となる。これは、直線 $y = -x + 2$ の下側の領域を表す。直線を含む。

したがって、これらの連立不等式が表す領域は、円 $x^2 + y^2 = 4$ の外部で、直線 $y = -x + 2$ の下側の領域である。円周と直線を含む。

(2)

不等式 $(x + y + 1)(x - y - 1) < 0$ を満たす領域を考える。この不等式は、次の二つの場合に分けられる。

(i) $x + y + 1 > 0$ かつ $x - y - 1 < 0$

(ii) $x + y + 1 < 0$ かつ $x - y - 1 > 0$

(i) $x + y + 1 > 0$ を変形すると、$y > -x - 1$ となる。これは直線 $y = -x - 1$ の上側の領域を表す。直線を含まない。

$x - y - 1 < 0$ を変形すると、$y > x - 1$ となる。これは直線 $y = x - 1$ の上側の領域を表す。直線を含まない。

(ii) $x + y + 1 < 0$ を変形すると、$y < -x - 1$ となる。これは直線 $y = -x - 1$ の下側の領域を表す。直線を含まない。

$x - y - 1 > 0$ を変形すると、$y < x - 1$ となる。これは直線 $y = x - 1$ の下側の領域を表す。直線を含まない。

したがって、求める領域は、直線 $y = -x - 1$ と直線 $y = x - 1$ で区切られる領域のうち、(i)と(ii)の条件を満たす領域である。直線は含まない。

3. 最終的な答え

(1) 円 $x^2 + y^2 = 4$ の外部で、直線 $y = -x + 2$ の下側の領域。円周と直線を含む。

(2) 直線 $y = -x - 1$ と直線 $y = x - 1$ で区切られる領域のうち、(i) $y > -x - 1$ かつ $y > x - 1$ を満たす領域と (ii) $y < -x - 1$ かつ $y < x - 1$ を満たす領域。境界の直線は含まない。