問題63は、3点 A(0, 6), B(1, -1), C(-3, 7) が与えられたとき、以下の問いに答えるものです。 (1) 3点A, B, Cを通る円の方程式を求める。 (2) 三角形ABCの外心の座標と、外接円の半径を求める。

1. 問題の内容

問題63は、3点 A(0, 6), B(1, -1), C(-3, 7) が与えられたとき、以下の問いに答えるものです。

(1) 3点A, B, Cを通る円の方程式を求める。

(2) 三角形ABCの外心の座標と、外接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) 3点A, B, Cを通る円の方程式を求める。

円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおく。

点A(0, 6)を通るので、

$0^2 + 6^2 + l \cdot 0 + m \cdot 6 + n = 0$

$36 + 6m + n = 0$ ...(1)

点B(1, -1)を通るので、

$1^2 + (-1)^2 + l \cdot 1 + m \cdot (-1) + n = 0$

$1 + 1 + l - m + n = 0$

$l - m + n = -2$ ...(2)

点C(-3, 7)を通るので、

$(-3)^2 + 7^2 + l \cdot (-3) + m \cdot 7 + n = 0$

$9 + 49 - 3l + 7m + n = 0$

$-3l + 7m + n = -58$ ...(3)

(1), (2), (3) の連立方程式を解く。

(1) - (2) より

$36 + 6m + n - (l - m + n) = 0 - (-2)$

$36 + 6m + n - l + m - n = 2$

$-l + 7m = -34$ ...(4)

(2) - (3) より

$l - m + n - (-3l + 7m + n) = -2 - (-58)$

$l - m + n + 3l - 7m - n = 56$

$4l - 8m = 56$

$l - 2m = 14$ ...(5)

(4) + (5) より

$-l + 7m + l - 2m = -34 + 14$

$5m = -20$

$m = -4$

(5) に $m = -4$ を代入して、

$l - 2(-4) = 14$

$l + 8 = 14$

$l = 6$

(1) に $m = -4$, $l = 6$ を代入して、

$36 + 6(-4) + n = 0$

$36 - 24 + n = 0$

$12 + n = 0$

$n = -12$

したがって、円の方程式は

$x^2 + y^2 + 6x - 4y - 12 = 0$

(2) 三角形ABCの外心の座標と、外接円の半径を求める。

(1) で求めた円の方程式を平方完成する。

$x^2 + 6x + y^2 - 4y = 12$

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 4y + 4) = 12 + 9 + 4$

$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25$

したがって、外心の座標は $(-3, 2)$ で、外接円の半径は $\sqrt{25} = 5$ である。

3. 最終的な答え

(1) 円の方程式: $x^2 + y^2 + 6x - 4y - 12 = 0$

(2) 外心の座標: $(-3, 2)$、外接円の半径: $5$