(1) 2点A(1, 5), B(7, 9)について、線分ABの中点Cと、線分ABを1:3に外分する点Dの座標を求める。 (2) 点(-2, 3)を通り、直線 $3x - 4y - 12 = 0$ に平行な直線$l_1$と、垂直な直線$l_2$の方程式をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

(1) 2点A(1, 5), B(7, 9)について、線分ABの中点Cと、線分ABを1:3に外分する点Dの座標を求める。

(2) 点(-2, 3)を通り、直線 $3x - 4y - 12 = 0$ に平行な直線$l_1$と、垂直な直線$l_2$の方程式をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1)

中点Cの座標は、2点の座標の平均を取ればよい。

$C = (\frac{1+7}{2}, \frac{5+9}{2})$

線分ABを1:3に外分する点Dの座標は、外分点の公式を使う。

$D = (\frac{1 \cdot 7 - 3 \cdot 1}{1-3}, \frac{1 \cdot 9 - 3 \cdot 5}{1-3})$

(2)

直線 $3x - 4y - 12 = 0$ に平行な直線$l_1$は、$3x - 4y + k = 0$ の形で表せる。この直線が点(-2, 3)を通るので、

$3(-2) - 4(3) + k = 0$

$-6 - 12 + k = 0$

$k = 18$

したがって、$l_1$の方程式は $3x - 4y + 18 = 0$ である。

直線 $3x - 4y - 12 = 0$ に垂直な直線$l_2$は、$4x + 3y + k = 0$ の形で表せる。この直線が点(-2, 3)を通るので、

$4(-2) + 3(3) + k = 0$

$-8 + 9 + k = 0$

$k = -1$

したがって、$l_2$の方程式は $4x + 3y - 1 = 0$ である。

3. 最終的な答え

(1) 中点Cの座標は(4, 7)。外分点Dの座標は(-2, 3)。

(2) 平行な直線$l_1$の方程式は $3x - 4y + 18 = 0$。垂直な直線$l_2$の方程式は $4x + 3y - 1 = 0$。