点A(-1, 2), B(2, -2), C(4, 0) が与えられたとき、以下の問題を解きます。 (1) 2点A, Bを通る直線lの方程式を求めます。 (2) (1)で求めた直線lと点Cの距離dを求めます。 (3) △ABCの面積を求めます。

1. 問題の内容

点A(-1, 2), B(2, -2), C(4, 0) が与えられたとき、以下の問題を解きます。

(1) 2点A, Bを通る直線lの方程式を求めます。

(2) (1)で求めた直線lと点Cの距離dを求めます。

(3) △ABCの面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2点A, Bを通る直線lの方程式を求めます。

まず、直線lの傾きmを求めます。

$m = \frac{-2 - 2}{2 - (-1)} = \frac{-4}{3}$

次に、点A(-1, 2)を通り、傾きが$m = -\frac{4}{3}$である直線の方程式を求めます。

$y - 2 = -\frac{4}{3}(x - (-1))$

$y - 2 = -\frac{4}{3}(x + 1)$

$3(y - 2) = -4(x + 1)$

$3y - 6 = -4x - 4$

$4x + 3y - 2 = 0$

よって、直線lの方程式は、$4x + 3y - 2 = 0$です。

(2) 直線lと点Cの距離dを求めます。

点(x1, y1)と直線ax + by + c = 0の距離dは、次の式で求められます。

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

今回は、点C(4, 0)と直線$4x + 3y - 2 = 0$の距離dを求めます。

$d = \frac{|4(4) + 3(0) - 2|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$

$d = \frac{|16 + 0 - 2|}{\sqrt{16 + 9}}$

$d = \frac{|14|}{\sqrt{25}}$

$d = \frac{14}{5}$

よって、直線lと点Cの距離dは、$\frac{14}{5}$です。

(3) △ABCの面積を求めます。

△ABCの面積は、ベクトルを用いると、次の式で求められます。

$S = \frac{1}{2} |(x_A - x_C)(y_B - y_A) - (x_A - x_B)(y_C - y_A)|$

$S = \frac{1}{2} |(-1 - 4)(-2 - 2) - (-1 - 2)(0 - 2)|$

$S = \frac{1}{2} |(-5)(-4) - (-3)(-2)|$

$S = \frac{1}{2} |20 - 6|$

$S = \frac{1}{2} |14|$

$S = 7$

別の方法として、(1)で求めた直線ABの方程式$4x+3y-2=0$と、点C(4,0)の距離$\frac{14}{5}$を利用することもできます。

点Aと点Bの距離は、$\sqrt{(2-(-1))^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ です。

このとき、ABを底辺としたときの高さは点CからABまでの距離なので、$\frac{14}{5}$となります。

したがって面積は、$\frac{1}{2} \times 5 \times \frac{14}{5} = \frac{1}{2} \times 14 = 7$ です。

よって、△ABCの面積は、7です。

3. 最終的な答え

(1) $4x + 3y - 2 = 0$

(2) $\frac{14}{5}$

(3) $7$