点A(0, 5) から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求めます。

1. 問題の内容

点A(0, 5) から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 接点を $(x_1, y_1)$ とおきます。この接点は円 $x^2 + y^2 = 5$ 上にあるので、

$$x_1^2 + y_1^2 = 5$$

が成り立ちます。

(2) 接点 $(x_1, y_1)$ における円の接線の方程式は、

$$x_1 x + y_1 y = 5$$

と表されます。

(3) この接線が点 A(0, 5) を通るので、

$$x_1(0) + y_1(5) = 5$$

$$5y_1 = 5$$

$$y_1 = 1$$

となります。

(4) $y_1 = 1$ を $x_1^2 + y_1^2 = 5$ に代入すると、

$$x_1^2 + 1^2 = 5$$

$$x_1^2 = 4$$

$$x_1 = \pm 2$$

となります。したがって、接点は (2, 1) と (-2, 1) の2つです。

(5) 接点が (2, 1) のとき、接線の方程式は、

$$2x + y = 5$$

すなわち、

$$y = -2x + 5$$

となります。

(6) 接点が (-2, 1) のとき、接線の方程式は、

$$-2x + y = 5$$

すなわち、

$$y = 2x + 5$$

となります。

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = -2x + 5$ と $y = 2x + 5$ です。

接点の座標は (2, 1) と (-2, 1) です。