円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $x - 3y + m = 0$ が接するときの定数 $m$ の値と接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $x - 3y + m = 0$ が接するときの定数 $m$ の値と接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $x - 3y + m = 0$ の距離が円の半径 $\sqrt{10}$ に等しいという条件を利用します。

点と直線の距離の公式より、点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、

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d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

$$$$

で表されます。

この問題の場合、$x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $a = 1$, $b = -3$, $c = m$ なので、円の中心 $(0, 0)$ と直線 $x - 3y + m = 0$ の距離は、

$$$$

d = \frac{|1 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + m|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{|m|}{\sqrt{10}}

$$$$

となります。

これが円の半径 $\sqrt{10}$ に等しいので、

$$$$

\frac{|m|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}

$$$$

よって、 $|m| = 10$ となり、$m = \pm 10$ です。

$m = 10$ のとき、直線は $x - 3y + 10 = 0$ となり、$x = 3y - 10$ を円の式 $x^2 + y^2 = 10$ に代入すると、

$$$$

(3y - 10)^2 + y^2 = 10 \\

9y^2 - 60y + 100 + y^2 = 10 \\

10y^2 - 60y + 90 = 0 \\

y^2 - 6y + 9 = 0 \\

(y - 3)^2 = 0

$$$$

よって、$y = 3$ となり、$x = 3 \cdot 3 - 10 = -1$ です。

したがって、接点は $(-1, 3)$ です。

$m = -10$ のとき、直線は $x - 3y - 10 = 0$ となり、$x = 3y + 10$ を円の式 $x^2 + y^2 = 10$ に代入すると、

$$$$

(3y + 10)^2 + y^2 = 10 \\

9y^2 + 60y + 100 + y^2 = 10 \\

10y^2 + 60y + 90 = 0 \\

y^2 + 6y + 9 = 0 \\

(y + 3)^2 = 0

$$$$

よって、$y = -3$ となり、$x = 3 \cdot (-3) + 10 = 1$ です。

したがって、接点は $(1, -3)$ です。

3. 最終的な答え

$m = 10$ のとき、接点の座標は $(-1, 3)$ です。

$m = -10$ のとき、接点の座標は $(1, -3)$ です。