三角関数の加法定理を用いて、$\sin 105^\circ$, $\cos 105^\circ$, $\tan 105^\circ$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

三角関数の加法定理を用いて、$\sin 105^\circ$, $\cos 105^\circ$, $\tan 105^\circ$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\sin 105^\circ$ の場合：

$105^\circ$ を $60^\circ + 45^\circ$ と考え、$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$ の公式を利用します。

$\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を代入します。

$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos 105^\circ$ の場合：

$105^\circ$ を $60^\circ + 45^\circ$ と考え、$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$ の公式を利用します。

$\cos 105^\circ = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を代入します。

$\cos 105^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(3) $\tan 105^\circ$ の場合：

$105^\circ$ を $60^\circ + 45^\circ$ と考え、$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$ の公式を利用します。

$\tan 105^\circ = \tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ \tan 45^\circ}$

$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$, $\tan 45^\circ = 1$ を代入します。

$\tan 105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分母と分子に $(1 + \sqrt{3})$ をかけます。

$\tan 105^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} + 3 + 1 + \sqrt{3}}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos 105^\circ = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(3) $\tan 105^\circ = -2 - \sqrt{3}$