問題5は、$\alpha$の動径が第2象限、$\beta$の動径が第4象限にあるとき、$\sin \alpha = \frac{4}{5}$、$\cos \beta = \frac{3}{5}$が与えられています。このとき、以下の値を求めます。 (1) $\cos \alpha$ (2) $\sin \beta$ (3) $\sin(\alpha + \beta)$ (4) $\cos(\alpha + \beta)$ 問題6は、2直線 $y = -\frac{3}{2}x + 1$と$y = -5x + 2$のなす角$\theta$を求めます。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とします。

1. 問題の内容

問題5は、$\alpha$の動径が第2象限、$\beta$の動径が第4象限にあるとき、$\sin \alpha = \frac{4}{5}$、$\cos \beta = \frac{3}{5}$が与えられています。このとき、以下の値を求めます。

(1) $\cos \alpha$

(2) $\sin \beta$

(3) $\sin(\alpha + \beta)$

(4) $\cos(\alpha + \beta)$

問題6は、2直線 $y = -\frac{3}{2}x + 1$と$y = -5x + 2$のなす角$\theta$を求めます。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とします。

2. 解き方の手順

問題5

(1) $\alpha$は第2象限にあるので、$\cos \alpha < 0$です。$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}$

$\cos \alpha < 0$なので、$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$

(2) $\beta$は第4象限にあるので、$\sin \beta < 0$です。$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$より、

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\sin \beta = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}$

$\sin \beta < 0$なので、$\sin \beta = -\frac{4}{5}$

(3) $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = (\frac{4}{5})(\frac{3}{5}) + (-\frac{3}{5})(-\frac{4}{5}) = \frac{12}{25} + \frac{12}{25} = \frac{24}{25}$

(4) $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = (-\frac{3}{5})(\frac{3}{5}) - (\frac{4}{5})(-\frac{4}{5}) = -\frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{7}{25}$

問題6

2直線の傾きをそれぞれ $m_1$, $m_2$とすると、$m_1 = -\frac{3}{2}$、$m_2 = -5$です。

$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}| = |\frac{-\frac{3}{2} - (-5)}{1 + (-\frac{3}{2})(-5)}| = |\frac{-\frac{3}{2} + 5}{1 + \frac{15}{2}}| = |\frac{\frac{7}{2}}{\frac{17}{2}}| = |\frac{7}{17}| = \frac{7}{17}$

したがって、$\theta = \arctan(\frac{7}{17})$

3. 最終的な答え

問題5

(1) $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$

(2) $\sin \beta = -\frac{4}{5}$

(3) $\sin(\alpha + \beta) = \frac{24}{25}$

(4) $\cos(\alpha + \beta) = \frac{7}{25}$

問題6

$\theta = \arctan(\frac{7}{17})$