(1) 中心が $(-5, 5)$ である円 $C$ と、円 $x^2 + y^2 = 18$ が外接するとき、円 $C$ の方程式を求めよ。 (2) 中心が $(-2, -3)$ である円 $C$ と、円 $x^2 + y^2 - 4x - 10y - 16 = 0$ が内接するとき、円 $C$ の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 中心が $(-5, 5)$ である円 $C$ と、円 $x^2 + y^2 = 18$ が外接するとき、円 $C$ の方程式を求めよ。

(2) 中心が $(-2, -3)$ である円 $C$ と、円 $x^2 + y^2 - 4x - 10y - 16 = 0$ が内接するとき、円 $C$ の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

円 $x^2 + y^2 = 18$ の中心は $(0, 0)$ であり、半径は $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ である。円 $C$ の中心は $(-5, 5)$ である。2つの円が外接するので、中心間の距離は半径の和に等しい。円 $C$ の半径を $r$ とすると、

$\sqrt{(-5 - 0)^2 + (5 - 0)^2} = r + 3\sqrt{2}$

$\sqrt{25 + 25} = r + 3\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = r + 3\sqrt{2}$

$5\sqrt{2} = r + 3\sqrt{2}$

$r = 2\sqrt{2}$

したがって、円 $C$ の方程式は $(x + 5)^2 + (y - 5)^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$ である。

(2)

円 $x^2 + y^2 - 4x - 10y - 16 = 0$ を変形する。

$(x^2 - 4x) + (y^2 - 10y) = 16$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 10y + 25) = 16 + 4 + 25$

$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 45$

この円の中心は $(2, 5)$ であり、半径は $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ である。円 $C$ の中心は $(-2, -3)$ である。2つの円が内接するので、中心間の距離は半径の差の絶対値に等しい。円 $C$ の半径を $r$ とすると、

$\sqrt{(-2 - 2)^2 + (-3 - 5)^2} = |r - 3\sqrt{5}|$

$\sqrt{(-4)^2 + (-8)^2} = |r - 3\sqrt{5}|$

$\sqrt{16 + 64} = |r - 3\sqrt{5}|$

$\sqrt{80} = |r - 3\sqrt{5}|$

$4\sqrt{5} = |r - 3\sqrt{5}|$

$r - 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$ または $r - 3\sqrt{5} = -4\sqrt{5}$

$r = 7\sqrt{5}$ または $r = -\sqrt{5}$

半径は正なので、$r = 7\sqrt{5}$ である。

したがって、円 $C$ の方程式は $(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = (7\sqrt{5})^2 = 245$ である。

3. 最終的な答え

(1) $(x + 5)^2 + (y - 5)^2 = 8$

(2) $(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 245$