四面体 $ABCD$ において、$AB=AC=\sqrt{5}$, $DB=DC=3$, $AD=4$ であり、辺 $BC$ の中点を $M$ とする。$\sin \angle BAM = \frac{\sqrt{5}}{5}$ である。 (1) 辺 $BC$ の長さ、$\triangle ABC$ の面積を求めよ。 (2) $DM$ の長さを求めよ。また $\angle MAD = \theta$ としたとき $\cos \theta$ の値を求めよ。 (3) $D$ から平面 $ABC$ に垂線を下ろし、その垂線と平面 $ABC$ の交点を $H$ とすると、$H$ は直線 $AM$ 上にある。$DH$ の長さと四面体 $ABCD$ の体積を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

四面体 $ABCD$ において、$AB=AC=\sqrt{5}$, $DB=DC=3$, $AD=4$ であり、辺 $BC$ の中点を $M$ とする。$\sin \angle BAM = \frac{\sqrt{5}}{5}$ である。

(1) 辺 $BC$ の長さ、$\triangle ABC$ の面積を求めよ。

(2) $DM$ の長さを求めよ。また $\angle MAD = \theta$ としたとき $\cos \theta$ の値を求めよ。

(3) $D$ から平面 $ABC$ に垂線を下ろし、その垂線と平面 $ABC$ の交点を $H$ とすると、$H$ は直線 $AM$ 上にある。$DH$ の長さと四面体 $ABCD$ の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle ABM$ において、$\sin \angle BAM = \frac{\sqrt{5}}{5}$ であるから、$\cos \angle BAM = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{5}}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{25}} = \sqrt{\frac{20}{25}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$AM = AB \cos \angle BAM = \sqrt{5} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{10}{5} = 2$

$\triangle ABM$ において、$AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2AM \cdot BM \cos \angle AMB$

$5 = 4 + BM^2 - 4BM \cos \angle AMB$

$\triangle ACM$ においても同様に、$AC^2 = AM^2 + CM^2 - 2AM \cdot CM \cos \angle AMC$

$5 = 4 + CM^2 - 4CM \cos \angle AMC$

$BM = CM$ であり、$\angle AMB + \angle AMC = \pi$ より、$\cos \angle AMC = - \cos \angle AMB$

よって、$\cos \angle AMB = 0$ となるため、$\angle AMB = \frac{\pi}{2}$

$\triangle ABM$ は直角三角形となるため、$AB^2 = AM^2 + BM^2$

$5 = 4 + BM^2$ より、$BM^2 = 1$ よって $BM = 1$

したがって、$BC = 2BM = 2$

$\triangle ABC$ の面積は、$\frac{1}{2} BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$

(2)

$\triangle DBC$ において、$DB=DC=3$, $BC=2$ であるから、中線定理より、

$DB^2 + DC^2 = 2(DM^2 + BM^2)$

$3^2 + 3^2 = 2(DM^2 + 1^2)$

$18 = 2DM^2 + 2$

$2DM^2 = 16$

$DM^2 = 8$

$DM = 2\sqrt{2}$

$\triangle ADM$ において、余弦定理より、

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2AM \cdot DM \cos \theta$

$4^2 = 2^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cos \theta$

$16 = 4 + 8 - 8\sqrt{2} \cos \theta$

$4 = -8\sqrt{2} \cos \theta$

$\cos \theta = - \frac{4}{8\sqrt{2}} = - \frac{1}{2\sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

(3)

$D$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると、$H$ は直線 $AM$ 上にあるので、$DH \perp AH$

$\triangle ADH$ は直角三角形なので、$AD^2 = AH^2 + DH^2$

$\triangle DMH$ も直角三角形なので、$DM^2 = DH^2 + HM^2$

$DH^2 = DM^2 - HM^2 = (2\sqrt{2})^2 - HM^2 = 8 - HM^2$

$AD^2 = AH^2 + DH^2$

$16 = AH^2 + 8 - HM^2$

$AH^2 - HM^2 = 8$

$AH = AM - HM = 2 - HM$

$(2-HM)^2 - HM^2 = 8$

$4 - 4HM + HM^2 - HM^2 = 8$

$-4HM = 4$

$HM = -1$

$AH = 2 - (-1) = 3$

$DH = \sqrt{DM^2 - HM^2} = \sqrt{8 - (-1)^2} = \sqrt{7}$

四面体 $ABCD$ の体積は、$\frac{1}{3} \triangle ABC \cdot DH = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \sqrt{7} = \frac{2\sqrt{7}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $BC = 2$, $\triangle ABC = 2$

(2) $DM = 2\sqrt{2}$, $\cos \theta = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

(3) $DH = \sqrt{7}$, 四面体 $ABCD$ の体積は $\frac{2\sqrt{7}}{3}$