1辺の長さが1の正四面体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

1辺の長さが1の正四面体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

正四面体の体積 $V$ は、底面積 $S$ と高さ $h$ を用いて、

$V = \frac{1}{3} S h$

で求められます。

まず、正四面体の底面となる正三角形の面積を求めます。正三角形の一辺の長さが1なので、面積 $S$ は、

$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$

次に、正四面体の高さを求めます。正四面体の頂点から底面に下ろした垂線の足は、底面の正三角形の重心に一致します。重心は、正三角形の中線を2:1に内分する点です。

底面の正三角形の一つの頂点から対辺の中点までの距離（中線の長さ）は、$\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

したがって、重心から頂点までの距離は、$\frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ となります。

正四面体の高さ $h$ は、ピタゴラスの定理を用いて計算できます。

$h^2 + (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1^2$

$h^2 + \frac{3}{9} = 1$

$h^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$h = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

最後に、正四面体の体積 $V$ を計算します。

$V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{18}}{36} = \frac{3\sqrt{2}}{36} = \frac{\sqrt{2}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}}{12}$