三角形OABにおいて、$|OA|=3$, $|OB|=2$, $\angle AOB = 60^\circ$である。 三角形OABの垂心をHとし、直線OHと線分ABの交点をPとする。 (1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$を求める。 (2) $\vec{OP}$を$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表し、AP:PBを求める。 (3) $\vec{OH}$を$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表し、OH:HPを求める。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、$|OA|=3$, $|OB|=2$, $\angle AOB = 60^\circ$である。

三角形OABの垂心をHとし、直線OHと線分ABの交点をPとする。

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$を求める。

(2) $\vec{OP}$を$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表し、AP:PBを求める。

(3) $\vec{OH}$を$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表し、OH:HPを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$は内積の定義より、

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |OA| |OB| \cos{\angle AOB} = 3 \cdot 2 \cdot \cos{60^\circ} = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3$

(2) $\vec{OP}$と$\vec{AB}$は垂直なので、$\vec{OP} \perp \vec{AB}$である。

$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ と表せるとする。点Pは線分AB上にあるので、$s+t=1$

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

$\vec{OP} \cdot \vec{AB} = (s\vec{OA} + t\vec{OB}) \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = 0$

$s\vec{OA}\cdot \vec{OB} - s|\vec{OA}|^2 + t|\vec{OB}|^2 - t\vec{OA}\cdot \vec{OB} = 0$

$s(3) - s(3^2) + t(2^2) - t(3) = 0$

$3s - 9s + 4t - 3t = 0$

$-6s + t = 0$

$t = 6s$

$s + t = 1$より、

$s + 6s = 1$

$7s = 1$

$s = \frac{1}{7}$

$t = 6s = \frac{6}{7}$

よって、$\vec{OP} = \frac{1}{7} \vec{OA} + \frac{6}{7} \vec{OB}$

$AP:PB$について、$\vec{OP} = (1-u)\vec{OA} + u\vec{OB}$と表せるとする。

このとき、$1-u = \frac{1}{7}, u = \frac{6}{7}$なので、

$AP:PB = u:(1-u) = \frac{6}{7}:\frac{1}{7} = 6:1$

(3) $\vec{OH} = x\vec{OA} + y\vec{OB}$とおく。

$\vec{AH} \perp \vec{OB}, \vec{BH} \perp \vec{OA}$である。

$\vec{AH} = \vec{OH} - \vec{OA} = (x-1)\vec{OA} + y\vec{OB}$

$\vec{BH} = \vec{OH} - \vec{OB} = x\vec{OA} + (y-1)\vec{OB}$

$\vec{AH} \cdot \vec{OB} = ((x-1)\vec{OA} + y\vec{OB}) \cdot \vec{OB} = 0$

$(x-1)(\vec{OA}\cdot \vec{OB}) + y|\vec{OB}|^2 = 0$

$3(x-1) + 4y = 0$

$3x - 3 + 4y = 0$

$3x + 4y = 3 \dots (1)$

$\vec{BH} \cdot \vec{OA} = (x\vec{OA} + (y-1)\vec{OB}) \cdot \vec{OA} = 0$

$x|\vec{OA}|^2 + (y-1)(\vec{OA}\cdot \vec{OB}) = 0$

$9x + 3(y-1) = 0$

$9x + 3y - 3 = 0$

$9x + 3y = 3$

$3x + y = 1 \dots (2)$

(1)-(2)より

$3y = 2$

$y = \frac{2}{3}$

$3x + \frac{2}{3} = 1$

$3x = \frac{1}{3}$

$x = \frac{1}{9}$

$\vec{OH} = \frac{1}{9} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{1}{7} \vec{OA} + \frac{6}{7} \vec{OB}$

$\vec{OH} = k\vec{OP}$とおくと、$\vec{OH} = k(\frac{1}{7} \vec{OA} + \frac{6}{7} \vec{OB}) = \frac{k}{7} \vec{OA} + \frac{6k}{7} \vec{OB}$

$\frac{k}{7} = \frac{1}{9}, \frac{6k}{7} = \frac{2}{3}$より

$k = \frac{7}{9}$

$\vec{OH} = \frac{7}{9} \vec{OP}$

$OH:HP = 7:2$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 3$

(2) $\vec{OP} = \frac{1}{7} \vec{OA} + \frac{6}{7} \vec{OB}, AP:PB = 6:1$

(3) $\vec{OH} = \frac{1}{9} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OB}, OH:HP = 7:2$