直角三角形ABCにおいて、BC=4, CA=3, ∠ACB=90° とする。辺AB上にAD=xとなる点Dをとる。点DからBC, ACへ、それぞれ垂線DE, DFを引く。 (1) 長方形DECFの面積Sをxで表せ。 (2) Sの最大値とそのときのxの値を求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、BC=4, CA=3, ∠ACB=90° とする。辺AB上にAD=xとなる点Dをとる。点DからBC, ACへ、それぞれ垂線DE, DFを引く。

(1) 長方形DECFの面積Sをxで表せ。

(2) Sの最大値とそのときのxの値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 長方形DECFの面積を求める。

まず、三平方の定理より、$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ である。

次に、AD:DF=AB:BCの関係より、$x:DF=5:4$ であるから、$DF = \frac{4}{5}x$ となる。

また、BD:DE=BA:ACの関係より、$BD = AB - AD = 5 - x$であるから、$(5-x):DE=5:3$ より、$DE = \frac{3}{5}(5-x)$ となる。

したがって、長方形DECFの面積Sは、$S = DE \cdot DF = \frac{3}{5}(5-x) \cdot \frac{4}{5}x = \frac{12}{25}x(5-x)$ と表せる。

(2) Sの最大値とそのときのxの値を求める。

$S = \frac{12}{25}x(5-x) = \frac{12}{25}(-x^2 + 5x) = -\frac{12}{25}(x^2 - 5x)$

平方完成を行うと、

$S = -\frac{12}{25}((x-\frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2) = -\frac{12}{25}(x-\frac{5}{2})^2 + \frac{12}{25} \cdot \frac{25}{4} = -\frac{12}{25}(x-\frac{5}{2})^2 + 3$

Sは $x = \frac{5}{2}$ のとき、最大値3をとる。

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{12}{25}x(5-x)$

(2) Sの最大値は3, そのときのxの値は$\frac{5}{2}$